Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \[AB = 6\;\,{\rm{cm}},\,\,\widehat B = \alpha \]. Biết \(\tan \alpha = \frac{5}{{12}}\). Hãy tìm độ dài cạnh \(AB,BC\).

Ta có \(BH = HC = \frac{{BC}}{2} = 6:2 = 3\);

Xét tam giác AHB vuông tại H có

\(\begin{array}{l}\quad A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\\ =  > AB = \sqrt {{4^2} + {3^2}}  = 5\end{array}\).

Do đó: O10-2024-GV154 \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{4}{5} = 0,8\); \(\cos B = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{3}{5} = 0,6;\)

\(\tan B = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{4}{3};\) \(\cot B = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{3}{4} = 0,75.\)

a) Kẻ đường cao \(AH\)

\(\Delta ABH\) vuông tại \(H\), ta có: \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AH = c.\sin B\)

\(\Delta AHC\) vuông tại \(H\), ta có: \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow AH = b.\sin C\)

Khi đó: \(c.\sin B = b.\sin C \Rightarrow \frac{c}{{\sin C}} = \frac{b}{{\sin B}}\) \(\left( 1 \right)\)

Kẻ đường cao \(BK\)

Chứng minh tương tự, ta có: \(c.\sin a = a.\sin C \Rightarrow \frac{c}{{\sin C}} = \frac{a}{{\sin A}}\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\) (đpcm).

b) Áp dụng tính chất tỉ lệ thức, ta có:\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{{b + c}}{{\sin B + \sin C}}\)

Đẳng thức \(\sin A = \sin B + \sin C\) sảy ra khi \(a = b + c\)( vô lý)

Vậy đẳng thức: \(\sin A = \sin B + \sin C\) không xảy ra.