Cho tam giác \({\rm{ABC}}\) đều có cạnh \({\rm{a}}\), các đường cao \({\rm{BD}}\) và \({\rm{CE}}\) cát nhau tại H.

Chứng minh rằng bốn điểm \({\rm{B}},\,\,{\rm{E}},\,\,{\rm{D}},\,\,{\rm{C}}\) cùng thuộc một đường tròn. Hãy xác định tâm và bán kính của đường tròn ấy.

Huớng dẫn: Chúng ta đưa vể bài toán 1, ở đây có hai tam giác vuông cùng chung cạnh huyền \(BC\).

Ta có \({\widehat {\rm{A}}_1} = {\widehat {\rm{D}}_1}\) (cùng phụ với \({\widehat {\rm{M}}_1}\) )

Do đó \(\Delta {\rm{ABP}} = \Delta {\rm{DAM}}\) (g.c.g) \( \Rightarrow {\rm{BP}} = {\rm{AM}} \Rightarrow {\rm{PC}} = {\rm{ND}}\).

Lại có \({\rm{PC//ND}}\) và \(\widehat {{\rm{BCD}}} = 90^\circ ({\rm{gt}})\)

\( \Rightarrow \) PCDN là hình chữ nhật. Gọi \({\rm{O}}\) là giao điểm của hai đường chéo \({\rm{PD}}\) và \({\rm{CN}}\) ta có \({\rm{O}}\) là

tâm đường tròn đi qua bốn điểm \({\rm{P}}{\rm{,}}\,\,{\rm{C}}{\rm{,}}\,\,{\rm{D}}{\rm{,}}\,\,{\rm{N}}\).

Mặt khác \(\Delta {\rm{PHD}}\) vuông (gt) có \({\rm{HO}}\) là trung tuyến

\( \Rightarrow {\rm{HO}} = {\rm{OP}} = {\rm{OD}}\) hay \({\rm{H}}\) thuộc đường tròn tâm O.

Vậy năm điểm \({\rm{C}},\,\,{\rm{D}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{H}},\,\,{\rm{P}}\) cùng thuộc đường tròn \({\rm{(O)}}\).

Ta có \({\rm{MN}}\) là đường trung bình của \(\Delta {\rm{ABC}}\)\( \Rightarrow {\rm{MN}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{AC v\`a  MN}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{2}\)\(\)

tương tự \({\rm{SR}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{AC}}\) và \({\rm{SR}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{2}\)

Do đó MNRS là hình bình hành

Mặt khác \({\rm{BD}} \bot {\rm{AC}}({\rm{gt}}) \Rightarrow {\rm{MN}} \bot {\rm{BD}}\)

Ta còn có \({\rm{MS}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{NR}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{BD}}\)

Do đó MN \( \bot {\rm{MS}}\) hay MNRS là hình chữ nhật

\( \Rightarrow 4\) điểm \({\rm{M}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{R}},\,\,{\rm{S}}\) cùng thuộc đường tròn tâm \({\rm{O}}\) là giao điểm của hai đường chéo \({\rm{MR}}\) và

NS bán kính \(\frac{{{\rm{MR}}}}{2}\).