Chứng minh rằng các trung điểm của các cạnh của hình thoi cùng nằm trên một đường tròn.

Cho hình chữ nhật \({\rm{ABCD}}\) có \({\rm{AD}} = 18\;{\rm{cm}}\) và \({\rm{CD}} = 12\;{\rm{cm}}\). Chứng minh rằng bốn điểm \({\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}},\,{\rm{D}}\) cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Cho tam giác \({\rm{ABC}}\) đều có cạnh \({\rm{a}}\), các đường cao \({\rm{BD}}\) và \({\rm{CE}}\) cát nhau tại H.

Chứng minh rằng bốn điểm \({\rm{B}},\,\,{\rm{E}},\,\,{\rm{D}},\,\,{\rm{C}}\) cùng thuộc một đường tròn. Hãy xác định tâm và bán kính của đường tròn ấy.

Huớng dẫn: Chúng ta đưa vể bài toán 1, ở đây có hai tam giác vuông cùng chung cạnh huyền \(BC\).

Cho hình vuông \[ABCD\] có \[E\] là giao điểm của hai đường chéo.

a) Chứng minh ràng có một đường tròn đi qua bốn điểm \(A,B,C\) và \(D\). Xác định tâm đối xứng và chỉ ra hai trục đối xứng của đường tròn đó.

b) Tính bán kính của đường tròn ở câu a, biết rằng hình vuông có cạnh bằng \(3\;cm\).

Cho hình vuông \({\rm{ABCD}}\). Trên cạnh \({\rm{AB}}\) lấy điểm \({\rm{M}}\), trên cạnh \({\rm{AD}}\) lấy \({\rm{N}}\) sao cho \({\rm{AM}} = {\rm{AN}}\). Kẻ \({\rm{AH}}\) vuông góc với \({\rm{DM}}\,\,({\rm{H}} \in {\rm{DM}})\) và \({\rm{AH}}\) cắt \({\rm{BC}}\) tại \({\rm{P}}\). Chứng minh rằng năm điểm \({\rm{C}},\,\,{\rm{D}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{H}},\,\,{\rm{P}}\) cùng thuộc một đường tròn.

Tứ giác \({\rm{ABCD}}\) có hai đường chéo \({\rm{AC}}\) và \({\rm{BD}}\) vuông góc với nhau. Gọi \[{\rm{M}},\,\,{\rm{N}},\,\,\]

\[{\rm{R}},\,\,{\rm{S}}\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \({\rm{AB}},\,\,{\rm{BC}},\,\,{\rm{CD}}\) và \({\rm{AD}}\). Chứng minh rằng: Bốn điểm \({\rm{M}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{R}},\,\,{\rm{S}}\) cùng thuộc một đường tròn.