Chứng minh rằng các trung điểm của các cạnh của hình thoi cùng nằm trên một đường tròn.

Cho hình vuông \({\rm{ABCD}}\). Trên cạnh \({\rm{AB}}\) lấy điểm \({\rm{M}}\), trên cạnh \({\rm{AD}}\) lấy \({\rm{N}}\) sao cho \({\rm{AM}} = {\rm{AN}}\). Kẻ \({\rm{AH}}\) vuông góc với \({\rm{DM}}\,\,({\rm{H}} \in {\rm{DM}})\) và \({\rm{AH}}\) cắt \({\rm{BC}}\) tại \({\rm{P}}\). Chứng minh rằng năm điểm \({\rm{C}},\,\,{\rm{D}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{H}},\,\,{\rm{P}}\) cùng thuộc một đường tròn.

Cho tam giác \({\rm{ABC}}\) đều có cạnh \({\rm{a}}\), các đường cao \({\rm{BD}}\) và \({\rm{CE}}\) cát nhau tại H.

Chứng minh rằng bốn điểm \({\rm{B}},\,\,{\rm{E}},\,\,{\rm{D}},\,\,{\rm{C}}\) cùng thuộc một đường tròn. Hãy xác định tâm và bán kính của đường tròn ấy.

Huớng dẫn: Chúng ta đưa vể bài toán 1, ở đây có hai tam giác vuông cùng chung cạnh huyền \(BC\).

Tứ giác \({\rm{ABCD}}\) có hai đường chéo \({\rm{AC}}\) và \({\rm{BD}}\) vuông góc với nhau. Gọi \[{\rm{M}},\,\,{\rm{N}},\,\,\]

\[{\rm{R}},\,\,{\rm{S}}\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \({\rm{AB}},\,\,{\rm{BC}},\,\,{\rm{CD}}\) và \({\rm{AD}}\). Chứng minh rằng: Bốn điểm \({\rm{M}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{R}},\,\,{\rm{S}}\) cùng thuộc một đường tròn.

Cho hình chữ nhật \({\rm{ABCD}}\) có \({\rm{AD}} = 18\;{\rm{cm}}\) và \({\rm{CD}} = 12\;{\rm{cm}}\). Chứng minh rằng bốn điểm \({\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}},\,{\rm{D}}\) cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Cho đường tròn \({\rm{(O)}}\) đường thả̉ng \({\rm{d}}\) đi qua \({\rm{O}}\) và điểm \({\rm{A}}\) thuộc (O) nhưng không thuộc \({\rm{d}}\). Gọi \({\rm{B}}\) là điểm đối xứng với \({\rm{A}}\) qua \({\rm{d}};\,\,{\rm{C}}\) và D lần lượt là điểm đới xứng với \({\rm{A}}\) và \({\rm{B}}\) qua \({\rm{O}}\).

a) Ba điểm \({\rm{B}},{\rm{C}}\) và \({\rm{D}}\) có thuộc \({\rm{(O)}}\) không? Vì sao?

b) Chứng minh tứ giác \({\rm{ABCD}}\) là hình chữ nhật.

c) Chứng minh rằng \({\rm{C}}\) và \({\rm{D}}\) đối xứng với nhau qua \({\rm{d}}\).