Tứ giác ${\rm{ABCD}}$ có hai đường chéo ${\rm{AC}}$ và ${\rm{BD}}$ vuông góc với nhau. Gọi \[{\rm{M}},\,\,{\rm{N}},\,\,\]

\[{\rm{R}},\,\,{\rm{S}}\] lần lượt là trung điểm của các cạnh ${\rm{AB}},\,\,{\rm{BC}},\,\,{\rm{CD}}$ và ${\rm{AD}}$. Chứng minh rằng: Bốn điểm ${\rm{M}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{R}},\,\,{\rm{S}}$ cùng thuộc một đường tròn.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Mở đầu về đường tròn lớp 9 (có lời giải) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Ta có \({\widehat {\rm{A}}_1} = {\widehat {\rm{ (ảnh 1)$

Ta có ${\rm{MN}}$ là đường trung bình của $\Delta {\rm{ABC}}$$ \Rightarrow {\rm{MN}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{AC v\`a MN}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{2}$

tương tự ${\rm{SR}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{AC}}$ và ${\rm{SR}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{2}$

Do đó MNRS là hình bình hành

Mặt khác ${\rm{BD}} \bot {\rm{AC}}({\rm{gt}}) \Rightarrow {\rm{MN}} \bot {\rm{BD}}$

Ta còn có ${\rm{MS}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{NR}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{BD}}$

Do đó MN $ \bot {\rm{MS}}$ hay MNRS là hình chữ nhật

$ \Rightarrow 4$ điểm ${\rm{M}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{R}},\,\,{\rm{S}}$ cùng thuộc đường tròn tâm ${\rm{O}}$ là giao điểm của hai đường chéo ${\rm{MR}}$ và

NS bán kính $\frac{{{\rm{MR}}}}{2}$.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình vuông ${\rm{ABCD}}$. Trên cạnh ${\rm{AB}}$ lấy điểm ${\rm{M}}$, trên cạnh ${\rm{AD}}$ lấy ${\rm{N}}$ sao cho ${\rm{AM}} = {\rm{AN}}$. Kẻ ${\rm{AH}}$ vuông góc với ${\rm{DM}}\,\,({\rm{H}} \in {\rm{DM}})$ và ${\rm{AH}}$ cắt ${\rm{BC}}$ tại ${\rm{P}}$. Chứng minh rằng năm điểm ${\rm{C}},\,\,{\rm{D}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{H}},\,\,{\rm{P}}$ cùng thuộc một đường tròn.

$ần lượt là trung điểm của bốn cạnh \({\rm{AB}},\,\,{\rm{BC}},\,\, (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có ${\widehat {\rm{A}}_1} = {\widehat {\rm{D}}_1}$ (cùng phụ với ${\widehat {\rm{M}}_1}$ )

Do đó $\Delta {\rm{ABP}} = \Delta {\rm{DAM}}$ (g.c.g) $ \Rightarrow {\rm{BP}} = {\rm{AM}} \Rightarrow {\rm{PC}} = {\rm{ND}}$.

Lại có ${\rm{PC//ND}}$ và $\widehat {{\rm{BCD}}} = 90^\circ ({\rm{gt}})$

$ \Rightarrow $ PCDN là hình chữ nhật. Gọi ${\rm{O}}$ là giao điểm của hai đường chéo ${\rm{PD}}$ và ${\rm{CN}}$ ta có ${\rm{O}}$ là

tâm đường tròn đi qua bốn điểm ${\rm{P}}{\rm{,}}\,\,{\rm{C}}{\rm{,}}\,\,{\rm{D}}{\rm{,}}\,\,{\rm{N}}$.

Mặt khác $\Delta {\rm{PHD}}$ vuông (gt) có ${\rm{HO}}$ là trung tuyến

$ \Rightarrow {\rm{HO}} = {\rm{OP}} = {\rm{OD}}$ hay ${\rm{H}}$ thuộc đường tròn tâm O.

Vậy năm điểm ${\rm{C}},\,\,{\rm{D}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{H}},\,\,{\rm{P}}$ cùng thuộc đường tròn ${\rm{(O)}}$.

Câu 2

Cho hình chữ nhật ${\rm{ABCD}}$ có ${\rm{AD}} = 18\;{\rm{cm}}$ và ${\rm{CD}} = 12\;{\rm{cm}}$. Chứng minh rằng bốn điểm ${\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}},\,{\rm{D}}$ cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Xem đáp án

Lời giải

$Xét tam giác ${\rm{ABC}}$ vuông tại ${\rm{A}}$. (ảnh 1)$

Gọi ${\rm{O}}$ là giao điểm của hai đường chéo ${\rm{AC}}$ và ${\rm{BD}}$

Ta có: ${\rm{OA}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}} = {\rm{OD}}$(tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật Vậy bốn điểm

${\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}},\,{\rm{D}}$ cùng thuộc đường tròn tâm ${\rm{O}}$ bán kính ${\rm{OA}}$.

Xét tam giác vuông ${\rm{ADC}}$ vuông tại ${\rm{D}}$.

Theo định lý Pythagore ta có:

${\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{D}}^2} + {\rm{C}}{{\rm{D}}^2} = {18^2} + {12^2}$

$ \Rightarrow {\rm{AC}} = \sqrt {{{18}^2} + {{12}^2}} = 6\sqrt {13} (\;{\rm{cm}})$

Vậy bán kính của đường tròn $({\rm{O}})$ đi qua bốn điểm ${\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}},\,{\rm{D}}$ là $\frac{{6\sqrt {13} }}{2}$.

Câu 3