Tứ giác \({\rm{ABCD}}\) có hai đường chéo \({\rm{AC}}\) và \({\rm{BD}}\) vuông góc với nhau. Gọi \[{\rm{M}},\,\,{\rm{N}},\,\,\]
\[{\rm{R}},\,\,{\rm{S}}\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \({\rm{AB}},\,\,{\rm{BC}},\,\,{\rm{CD}}\) và \({\rm{AD}}\). Chứng minh rằng: Bốn điểm \({\rm{M}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{R}},\,\,{\rm{S}}\) cùng thuộc một đường tròn.
Tứ giác \({\rm{ABCD}}\) có hai đường chéo \({\rm{AC}}\) và \({\rm{BD}}\) vuông góc với nhau. Gọi \[{\rm{M}},\,\,{\rm{N}},\,\,\]
\[{\rm{R}},\,\,{\rm{S}}\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \({\rm{AB}},\,\,{\rm{BC}},\,\,{\rm{CD}}\) và \({\rm{AD}}\). Chứng minh rằng: Bốn điểm \({\rm{M}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{R}},\,\,{\rm{S}}\) cùng thuộc một đường tròn.
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Mở đầu về đường tròn lớp 9 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có \({\rm{MN}}\) là đường trung bình của \(\Delta {\rm{ABC}}\)\( \Rightarrow {\rm{MN}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{AC v\`a MN}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{2}\)\(\)
tương tự \({\rm{SR}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{AC}}\) và \({\rm{SR}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{2}\)
Do đó MNRS là hình bình hành
Mặt khác \({\rm{BD}} \bot {\rm{AC}}({\rm{gt}}) \Rightarrow {\rm{MN}} \bot {\rm{BD}}\)
Ta còn có \({\rm{MS}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{NR}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{BD}}\)
Do đó MN \( \bot {\rm{MS}}\) hay MNRS là hình chữ nhật
\( \Rightarrow 4\) điểm \({\rm{M}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{R}},\,\,{\rm{S}}\) cùng thuộc đường tròn tâm \({\rm{O}}\) là giao điểm của hai đường chéo \({\rm{MR}}\) và
NS bán kính \(\frac{{{\rm{MR}}}}{2}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
Vào phòng luyện đề →Luyện đề →CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi \({\rm{O}}\) là giao điểm của hai đường chéo \({\rm{AC}}\) và \({\rm{BD}}\)
Ta có: \({\rm{OA}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}} = {\rm{OD}}\)(tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật Vậy bốn điểm
\({\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}},\,{\rm{D}}\) cùng thuộc đường tròn tâm \({\rm{O}}\) bán kính \({\rm{OA}}\).
Xét tam giác vuông \({\rm{ADC}}\) vuông tại \({\rm{D}}\).
Theo định lý Pythagore ta có:
\({\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{D}}^2} + {\rm{C}}{{\rm{D}}^2} = {18^2} + {12^2}\)
\( \Rightarrow {\rm{AC}} = \sqrt {{{18}^2} + {{12}^2}} = 6\sqrt {13} (\;{\rm{cm}})\)\(\)
Vậy bán kính của đường tròn \(({\rm{O}})\) đi qua bốn điểm \({\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}},\,{\rm{D}}\) là \(\frac{{6\sqrt {13} }}{2}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Ta có \({\widehat {\rm{A}}_1} = {\widehat {\rm{D}}_1}\) (cùng phụ với \({\widehat {\rm{M}}_1}\) )
Do đó \(\Delta {\rm{ABP}} = \Delta {\rm{DAM}}\) (g.c.g) \( \Rightarrow {\rm{BP}} = {\rm{AM}} \Rightarrow {\rm{PC}} = {\rm{ND}}\).
Lại có \({\rm{PC//ND}}\) và \(\widehat {{\rm{BCD}}} = 90^\circ ({\rm{gt}})\)
\( \Rightarrow \) PCDN là hình chữ nhật. Gọi \({\rm{O}}\) là giao điểm của hai đường chéo \({\rm{PD}}\) và \({\rm{CN}}\) ta có \({\rm{O}}\) là
tâm đường tròn đi qua bốn điểm \({\rm{P}}{\rm{,}}\,\,{\rm{C}}{\rm{,}}\,\,{\rm{D}}{\rm{,}}\,\,{\rm{N}}\).
Mặt khác \(\Delta {\rm{PHD}}\) vuông (gt) có \({\rm{HO}}\) là trung tuyến
\( \Rightarrow {\rm{HO}} = {\rm{OP}} = {\rm{OD}}\) hay \({\rm{H}}\) thuộc đường tròn tâm O.
Vậy năm điểm \({\rm{C}},\,\,{\rm{D}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{H}},\,\,{\rm{P}}\) cùng thuộc đường tròn \({\rm{(O)}}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập