Tứ giác ${\rm{ABCD}}$ có hai đường chéo ${\rm{AC}}$ và ${\rm{BD}}$ vuông góc với nhau. Gọi \[{\rm{M}},\,\,{\rm{N}},\,\,\]

\[{\rm{R}},\,\,{\rm{S}}\] lần lượt là trung điểm của các cạnh ${\rm{AB}},\,\,{\rm{BC}},\,\,{\rm{CD}}$ và ${\rm{AD}}$. Chứng minh rằng: Bốn điểm ${\rm{M}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{R}},\,\,{\rm{S}}$ cùng thuộc một đường tròn.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Mở đầu về đường tròn lớp 9 (có lời giải) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Ta có \({\widehat {\rm{A}}_1} = {\widehat {\rm{ (ảnh 1)$

Ta có ${\rm{MN}}$ là đường trung bình của $\Delta {\rm{ABC}}$$ \Rightarrow {\rm{MN}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{AC v\`a MN}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{2}$

tương tự ${\rm{SR}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{AC}}$ và ${\rm{SR}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{2}$

Do đó MNRS là hình bình hành

Mặt khác ${\rm{BD}} \bot {\rm{AC}}({\rm{gt}}) \Rightarrow {\rm{MN}} \bot {\rm{BD}}$

Ta còn có ${\rm{MS}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{NR}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{BD}}$

Do đó MN $ \bot {\rm{MS}}$ hay MNRS là hình chữ nhật

$ \Rightarrow 4$ điểm ${\rm{M}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{R}},\,\,{\rm{S}}$ cùng thuộc đường tròn tâm ${\rm{O}}$ là giao điểm của hai đường chéo ${\rm{MR}}$ và

NS bán kính $\frac{{{\rm{MR}}}}{2}$.

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình vuông ${\rm{ABCD}}$. Trên cạnh ${\rm{AB}}$ lấy điểm ${\rm{M}}$, trên cạnh ${\rm{AD}}$ lấy ${\rm{N}}$ sao cho ${\rm{AM}} = {\rm{AN}}$. Kẻ ${\rm{AH}}$ vuông góc với ${\rm{DM}}\,\,({\rm{H}} \in {\rm{DM}})$ và ${\rm{AH}}$ cắt ${\rm{BC}}$ tại ${\rm{P}}$. Chứng minh rằng năm điểm ${\rm{C}},\,\,{\rm{D}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{H}},\,\,{\rm{P}}$ cùng thuộc một đường tròn.

$ần lượt là trung điểm của bốn cạnh \({\rm{AB}},\,\,{\rm{BC}},\,\, (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có ${\widehat {\rm{A}}_1} = {\widehat {\rm{D}}_1}$ (cùng phụ với ${\widehat {\rm{M}}_1}$ )

Do đó $\Delta {\rm{ABP}} = \Delta {\rm{DAM}}$ (g.c.g) $ \Rightarrow {\rm{BP}} = {\rm{AM}} \Rightarrow {\rm{PC}} = {\rm{ND}}$.

Lại có ${\rm{PC//ND}}$ và $\widehat {{\rm{BCD}}} = 90^\circ ({\rm{gt}})$

$ \Rightarrow $ PCDN là hình chữ nhật. Gọi ${\rm{O}}$ là giao điểm của hai đường chéo ${\rm{PD}}$ và ${\rm{CN}}$ ta có ${\rm{O}}$ là

tâm đường tròn đi qua bốn điểm ${\rm{P}}{\rm{,}}\,\,{\rm{C}}{\rm{,}}\,\,{\rm{D}}{\rm{,}}\,\,{\rm{N}}$.

Mặt khác $\Delta {\rm{PHD}}$ vuông (gt) có ${\rm{HO}}$ là trung tuyến

$ \Rightarrow {\rm{HO}} = {\rm{OP}} = {\rm{OD}}$ hay ${\rm{H}}$ thuộc đường tròn tâm O.

Vậy năm điểm ${\rm{C}},\,\,{\rm{D}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{H}},\,\,{\rm{P}}$ cùng thuộc đường tròn ${\rm{(O)}}$.

Câu 2

Cho hình chữ nhật ${\rm{ABCD}}$ có ${\rm{AD}} = 18\;{\rm{cm}}$ và ${\rm{CD}} = 12\;{\rm{cm}}$. Chứng minh rằng bốn điểm ${\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}},\,{\rm{D}}$ cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Xem đáp án

Lời giải

$Xét tam giác ${\rm{ABC}}$ vuông tại ${\rm{A}}$. (ảnh 1)$

Gọi ${\rm{O}}$ là giao điểm của hai đường chéo ${\rm{AC}}$ và ${\rm{BD}}$

Ta có: ${\rm{OA}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}} = {\rm{OD}}$(tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật Vậy bốn điểm

${\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}},\,{\rm{D}}$ cùng thuộc đường tròn tâm ${\rm{O}}$ bán kính ${\rm{OA}}$.

Xét tam giác vuông ${\rm{ADC}}$ vuông tại ${\rm{D}}$.

Theo định lý Pythagore ta có:

${\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{D}}^2} + {\rm{C}}{{\rm{D}}^2} = {18^2} + {12^2}$

$ \Rightarrow {\rm{AC}} = \sqrt {{{18}^2} + {{12}^2}} = 6\sqrt {13} (\;{\rm{cm}})$

Vậy bán kính của đường tròn $({\rm{O}})$ đi qua bốn điểm ${\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}},\,{\rm{D}}$ là $\frac{{6\sqrt {13} }}{2}$.

Câu 3