Cho tam giác \({\rm{ABC}}\) nhọn. Chứng minh rằng các trung điểm của ba cạnh, các trung điểm của ba đoạn thẳng nối ba đỉnh với trực tâm chân của ba đường cao của tam giác cùng thuộc một đường tròn. (Đường tròn 9 điểm hay đường tròn Euler).
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Mở đầu về đường tròn lớp 9 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \({\rm{I}},\,\,{\rm{K}},\,\,{\rm{L}}\) lần lượt là trung điểm của ba cạnh \({\rm{AB}},\,\,{\rm{BC}},\,\,{\rm{AC}}\)
\({\rm{M}},{\rm{N}},{\rm{P}}\) lẩn lượt là trung điểm của \({\rm{HA}},\,\,{\rm{HB}},\,\,{\rm{HC}}\)
Chân ba đường cao ké từ \({\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}}\) lần lượt là \({\rm{D}},\,\,{\rm{E}},\,\,{\rm{F}}\).
Ta có IL là đường trung bình của \(\Delta {\rm{ABC}}\)
\( \Rightarrow {\rm{IL}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{BC}}\) và \({\rm{IL}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{2}\)
Tương tự \({\rm{NP}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{BC}}\) và \({\rm{NP}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{2}\)
Do đó ILPN là hình bình hành.
Mặt khác \({\rm{AD}} \bot {\rm{BC}}\) (gt)
\( \Rightarrow {\rm{IL}} \bot {\rm{AD}}\).
Ta còn có \({\rm{IN}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{LP}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{AD}}\) \( \Rightarrow {\rm{IN}} \bot {\rm{IL}}\) hay ILPN là hình chữ nhật.
Chứng minh tương tự KLMN cūng là hình chữ nhật, hai hình chữ nhật này có chung đường
chéo NL. Nên \({\rm{NL}},\,\,{\rm{PI}},\,\,{\rm{MK}}\) cắt nhau tại một điểm O là trung điểm của \({\rm{NL}}\).
Từ đó ta có 6 điểm \({\rm{M}},\,\,{\rm{L}},\,\,{\rm{P}},\,\,{\rm{K}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{I}}\) cùng nằm trên đường tròn đồng tâm \({\rm{O}}\). Lại có \(\Delta {\rm{MDK}}\)
vuông tại \({\rm{D}}\) có \({\rm{DO}}\) là trung tuyến \( \Rightarrow {\rm{OD}} = {\rm{OM}} = {\rm{OK}}\) hay \({\rm{D}}\) thuộc đường tròn đường kính \({\rm{MK}}\). Chứng minh tương tự ta có hai điểm \({\rm{E}},\,\,{\rm{F}}\) cùng thuộc đường tròn \({\rm{O}}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Ta có \({\widehat {\rm{A}}_1} = {\widehat {\rm{D}}_1}\) (cùng phụ với \({\widehat {\rm{M}}_1}\) )
Do đó \(\Delta {\rm{ABP}} = \Delta {\rm{DAM}}\) (g.c.g) \( \Rightarrow {\rm{BP}} = {\rm{AM}} \Rightarrow {\rm{PC}} = {\rm{ND}}\).
Lại có \({\rm{PC//ND}}\) và \(\widehat {{\rm{BCD}}} = 90^\circ ({\rm{gt}})\)
\( \Rightarrow \) PCDN là hình chữ nhật. Gọi \({\rm{O}}\) là giao điểm của hai đường chéo \({\rm{PD}}\) và \({\rm{CN}}\) ta có \({\rm{O}}\) là
tâm đường tròn đi qua bốn điểm \({\rm{P}}{\rm{,}}\,\,{\rm{C}}{\rm{,}}\,\,{\rm{D}}{\rm{,}}\,\,{\rm{N}}\).
Mặt khác \(\Delta {\rm{PHD}}\) vuông (gt) có \({\rm{HO}}\) là trung tuyến
\( \Rightarrow {\rm{HO}} = {\rm{OP}} = {\rm{OD}}\) hay \({\rm{H}}\) thuộc đường tròn tâm O.
Vậy năm điểm \({\rm{C}},\,\,{\rm{D}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{H}},\,\,{\rm{P}}\) cùng thuộc đường tròn \({\rm{(O)}}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi \({\rm{O}}\) là giao điểm của hai đường chéo \({\rm{AC}}\) và \({\rm{BD}}\)
Ta có: \({\rm{OA}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}} = {\rm{OD}}\)(tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật Vậy bốn điểm
\({\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}},\,{\rm{D}}\) cùng thuộc đường tròn tâm \({\rm{O}}\) bán kính \({\rm{OA}}\).
Xét tam giác vuông \({\rm{ADC}}\) vuông tại \({\rm{D}}\).
Theo định lý Pythagore ta có:
\({\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{D}}^2} + {\rm{C}}{{\rm{D}}^2} = {18^2} + {12^2}\)
\( \Rightarrow {\rm{AC}} = \sqrt {{{18}^2} + {{12}^2}} = 6\sqrt {13} (\;{\rm{cm}})\)\(\)
Vậy bán kính của đường tròn \(({\rm{O}})\) đi qua bốn điểm \({\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}},\,{\rm{D}}\) là \(\frac{{6\sqrt {13} }}{2}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập