Cho tam giác \({\rm{ABC}}\) nhọn. Chứng minh rằng các trung điểm của ba cạnh, các trung điểm của ba đoạn thẳng nối ba đỉnh với trực tâm chân của ba đường cao của tam giác cùng thuộc một đường tròn. (Đường tròn 9 điểm hay đường tròn Euler).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \({\rm{I}},\,\,{\rm{K}},\,\,{\rm{L}}\) lần lượt là trung điểm của ba cạnh \({\rm{AB}},\,\,{\rm{BC}},\,\,{\rm{AC}}\)
\({\rm{M}},{\rm{N}},{\rm{P}}\) lẩn lượt là trung điểm của \({\rm{HA}},\,\,{\rm{HB}},\,\,{\rm{HC}}\)
Chân ba đường cao ké từ \({\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}}\) lần lượt là \({\rm{D}},\,\,{\rm{E}},\,\,{\rm{F}}\).
Ta có IL là đường trung bình của \(\Delta {\rm{ABC}}\)
\( \Rightarrow {\rm{IL}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{BC}}\) và \({\rm{IL}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{2}\)
Tương tự \({\rm{NP}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{BC}}\) và \({\rm{NP}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{2}\)
Do đó ILPN là hình bình hành.
Mặt khác \({\rm{AD}} \bot {\rm{BC}}\) (gt)
\( \Rightarrow {\rm{IL}} \bot {\rm{AD}}\).
Ta còn có \({\rm{IN}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{LP}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{AD}}\) \( \Rightarrow {\rm{IN}} \bot {\rm{IL}}\) hay ILPN là hình chữ nhật.
Chứng minh tương tự KLMN cūng là hình chữ nhật, hai hình chữ nhật này có chung đường
chéo NL. Nên \({\rm{NL}},\,\,{\rm{PI}},\,\,{\rm{MK}}\) cắt nhau tại một điểm O là trung điểm của \({\rm{NL}}\).
Từ đó ta có 6 điểm \({\rm{M}},\,\,{\rm{L}},\,\,{\rm{P}},\,\,{\rm{K}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{I}}\) cùng nằm trên đường tròn đồng tâm \({\rm{O}}\). Lại có \(\Delta {\rm{MDK}}\)
vuông tại \({\rm{D}}\) có \({\rm{DO}}\) là trung tuyến \( \Rightarrow {\rm{OD}} = {\rm{OM}} = {\rm{OK}}\) hay \({\rm{D}}\) thuộc đường tròn đường kính \({\rm{MK}}\). Chứng minh tương tự ta có hai điểm \({\rm{E}},\,\,{\rm{F}}\) cùng thuộc đường tròn \({\rm{O}}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có \({\widehat {\rm{A}}_1} = {\widehat {\rm{D}}_1}\) (cùng phụ với \({\widehat {\rm{M}}_1}\) )
Do đó \(\Delta {\rm{ABP}} = \Delta {\rm{DAM}}\) (g.c.g) \( \Rightarrow {\rm{BP}} = {\rm{AM}} \Rightarrow {\rm{PC}} = {\rm{ND}}\).
Lại có \({\rm{PC//ND}}\) và \(\widehat {{\rm{BCD}}} = 90^\circ ({\rm{gt}})\)
\( \Rightarrow \) PCDN là hình chữ nhật. Gọi \({\rm{O}}\) là giao điểm của hai đường chéo \({\rm{PD}}\) và \({\rm{CN}}\) ta có \({\rm{O}}\) là
tâm đường tròn đi qua bốn điểm \({\rm{P}}{\rm{,}}\,\,{\rm{C}}{\rm{,}}\,\,{\rm{D}}{\rm{,}}\,\,{\rm{N}}\).
Mặt khác \(\Delta {\rm{PHD}}\) vuông (gt) có \({\rm{HO}}\) là trung tuyến
\( \Rightarrow {\rm{HO}} = {\rm{OP}} = {\rm{OD}}\) hay \({\rm{H}}\) thuộc đường tròn tâm O.
Vậy năm điểm \({\rm{C}},\,\,{\rm{D}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{H}},\,\,{\rm{P}}\) cùng thuộc đường tròn \({\rm{(O)}}\).
Lời giải
Gọi \({\rm{O}}\) là trung điểm của \({\rm{BC}}\).
Các tam giác vuông \({\rm{BDC}}\) và \({\rm{BEC}}\) có chung cạnh huyền \({\rm{BC}}\) và \({\rm{OD}},\,\,{\rm{OE}}\) là các trung tuyến tương ứng.
Ta có \({\rm{OD}} = {\rm{OE}}\left( { = \frac{1}{2}{\rm{BC}}} \right)\)
\( \Rightarrow {\rm{OD}} = {\rm{OE}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}} = \frac{1}{2}{\rm{a}}{\rm{. }}\)\(\)
Vậy bốn điểm \({\rm{B}},\,\,{\rm{E}},\,\,{\rm{D}},\,\,{\rm{C}}\) cùng thuộc đường tròn tâm \({\rm{O}}\) là trung điểm của \({\rm{BC}}\) và bán kính bằng \(\frac{{\rm{a}}}{2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập