Cho tam giác \({\rm{ABC}}\) nhọn. Chứng minh rằng các trung điểm của ba cạnh, các trung điểm của ba đoạn thẳng nối ba đỉnh với trực tâm chân của ba đường cao của tam giác cùng thuộc một đường tròn. (Đường tròn 9 điểm hay đường tròn Euler).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \({\rm{I}},\,\,{\rm{K}},\,\,{\rm{L}}\) lần lượt là trung điểm của ba cạnh \({\rm{AB}},\,\,{\rm{BC}},\,\,{\rm{AC}}\)
\({\rm{M}},{\rm{N}},{\rm{P}}\) lẩn lượt là trung điểm của \({\rm{HA}},\,\,{\rm{HB}},\,\,{\rm{HC}}\)
Chân ba đường cao ké từ \({\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}}\) lần lượt là \({\rm{D}},\,\,{\rm{E}},\,\,{\rm{F}}\).
Ta có IL là đường trung bình của \(\Delta {\rm{ABC}}\)
\( \Rightarrow {\rm{IL}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{BC}}\) và \({\rm{IL}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{2}\)
Tương tự \({\rm{NP}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{BC}}\) và \({\rm{NP}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{2}\)
Do đó ILPN là hình bình hành.
Mặt khác \({\rm{AD}} \bot {\rm{BC}}\) (gt)
\( \Rightarrow {\rm{IL}} \bot {\rm{AD}}\).
Ta còn có \({\rm{IN}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{LP}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{AD}}\) \( \Rightarrow {\rm{IN}} \bot {\rm{IL}}\) hay ILPN là hình chữ nhật.
Chứng minh tương tự KLMN cūng là hình chữ nhật, hai hình chữ nhật này có chung đường
chéo NL. Nên \({\rm{NL}},\,\,{\rm{PI}},\,\,{\rm{MK}}\) cắt nhau tại một điểm O là trung điểm của \({\rm{NL}}\).
Từ đó ta có 6 điểm \({\rm{M}},\,\,{\rm{L}},\,\,{\rm{P}},\,\,{\rm{K}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{I}}\) cùng nằm trên đường tròn đồng tâm \({\rm{O}}\). Lại có \(\Delta {\rm{MDK}}\)
vuông tại \({\rm{D}}\) có \({\rm{DO}}\) là trung tuyến \( \Rightarrow {\rm{OD}} = {\rm{OM}} = {\rm{OK}}\) hay \({\rm{D}}\) thuộc đường tròn đường kính \({\rm{MK}}\). Chứng minh tương tự ta có hai điểm \({\rm{E}},\,\,{\rm{F}}\) cùng thuộc đường tròn \({\rm{O}}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi \({\rm{O}}\) là giao điểm của hai đường chéo \({\rm{AC}}\) và \({\rm{BD}}\)
Ta có: \({\rm{OA}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}} = {\rm{OD}}\)(tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật Vậy bốn điểm
\({\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}},\,{\rm{D}}\) cùng thuộc đường tròn tâm \({\rm{O}}\) bán kính \({\rm{OA}}\).
Xét tam giác vuông \({\rm{ADC}}\) vuông tại \({\rm{D}}\).
Theo định lý Pythagore ta có:
\({\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{D}}^2} + {\rm{C}}{{\rm{D}}^2} = {18^2} + {12^2}\)
\( \Rightarrow {\rm{AC}} = \sqrt {{{18}^2} + {{12}^2}} = 6\sqrt {13} (\;{\rm{cm}})\)\(\)
Vậy bán kính của đường tròn \(({\rm{O}})\) đi qua bốn điểm \({\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}},\,{\rm{D}}\) là \(\frac{{6\sqrt {13} }}{2}\).
Lời giải
Xét tam giác \({\rm{ABC}}\) vuông tại \({\rm{A}}\).
Theo định lí Pythagore, ta có:
\({\rm{B}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = {3^2} + {4^2}\)
\( \Rightarrow {\rm{BC}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5(\;{\rm{cm}})\)
Gọi \({\rm{O}}\) là trung điểm của \({\rm{BC}}\), ta có:
\({\rm{OB}} = {\rm{OC}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{2} = \frac{5}{2} = 2,5(\;{\rm{cm}})\)\(\)
Mặt khác \({\rm{OA}}\) là trung tuyến của tam giác \({\rm{ABC}}\) vuông tại \({\rm{A}}\)
Ta có \({\rm{OA}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}} = 2,5(\;{\rm{cm}})\)
Nên ba điểm \({\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}}\) thuộc đường tròn tâm \({\rm{O}}\) là trung điểm đoạn \({\rm{BC}}\) và bán kính
\(R = 2,5(\;{\rm{cm}})\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập