Cho hình vuông \({\rm{ABCD}}\). Trên cạnh \({\rm{AB}}\) lấy điểm \({\rm{M}}\), trên cạnh \({\rm{AD}}\) lấy \({\rm{N}}\) sao cho \({\rm{AM}} = {\rm{AN}}\). Kẻ \({\rm{AH}}\) vuông góc với \({\rm{DM}}\,\,({\rm{H}} \in {\rm{DM}})\) và \({\rm{AH}}\) cắt \({\rm{BC}}\) tại \({\rm{P}}\). Chứng minh rằng năm điểm \({\rm{C}},\,\,{\rm{D}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{H}},\,\,{\rm{P}}\) cùng thuộc một đường tròn.

Gọi \({\rm{O}}\) là trung điểm của \({\rm{BC}}\).

Các tam giác vuông \({\rm{BDC}}\) và \({\rm{BEC}}\) có chung cạnh huyền \({\rm{BC}}\) và \({\rm{OD}},\,\,{\rm{OE}}\) là các trung tuyến tương ứng.

Ta có \({\rm{OD}} = {\rm{OE}}\left( { = \frac{1}{2}{\rm{BC}}} \right)\)

\( \Rightarrow {\rm{OD}} = {\rm{OE}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}} = \frac{1}{2}{\rm{a}}{\rm{. }}\)\(\)

Vậy bốn điểm \({\rm{B}},\,\,{\rm{E}},\,\,{\rm{D}},\,\,{\rm{C}}\) cùng thuộc đường tròn tâm \({\rm{O}}\) là trung điểm của \({\rm{BC}}\) và bán kính bằng \(\frac{{\rm{a}}}{2}\).

Gọi \({\rm{O}}\) là giao điểm của hai đường chéo \({\rm{AC}}\) và \({\rm{BD}}\)

Ta có: \({\rm{OA}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}} = {\rm{OD}}\)(tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật Vậy bốn điểm

\({\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}},\,{\rm{D}}\) cùng thuộc đường tròn tâm \({\rm{O}}\) bán kính \({\rm{OA}}\).

Xét tam giác vuông \({\rm{ADC}}\) vuông tại \({\rm{D}}\).

Theo định lý Pythagore ta có:

\({\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{D}}^2} + {\rm{C}}{{\rm{D}}^2} = {18^2} + {12^2}\)

\( \Rightarrow {\rm{AC}} = \sqrt {{{18}^2} + {{12}^2}}  = 6\sqrt {13} (\;{\rm{cm}})\)\(\)

Vậy bán kính của đường tròn \(({\rm{O}})\) đi qua bốn điểm \({\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}},\,{\rm{D}}\) là \(\frac{{6\sqrt {13} }}{2}\).