Cho hình vuông \[ABCD\] có \[E\] là giao điểm của hai đường chéo.

a) Chứng minh ràng có một đường tròn đi qua bốn điểm \(A,B,C\) và \(D\). Xác định tâm đối xứng và chỉ ra hai trục đối xứng của đường tròn đó.

b) Tính bán kính của đường tròn ở câu a, biết rằng hình vuông có cạnh bằng \(3\;cm\).

Ta có \({\widehat {\rm{A}}_1} = {\widehat {\rm{D}}_1}\) (cùng phụ với \({\widehat {\rm{M}}_1}\) )

Do đó \(\Delta {\rm{ABP}} = \Delta {\rm{DAM}}\) (g.c.g) \( \Rightarrow {\rm{BP}} = {\rm{AM}} \Rightarrow {\rm{PC}} = {\rm{ND}}\).

Lại có \({\rm{PC//ND}}\) và \(\widehat {{\rm{BCD}}} = 90^\circ ({\rm{gt}})\)

\( \Rightarrow \) PCDN là hình chữ nhật. Gọi \({\rm{O}}\) là giao điểm của hai đường chéo \({\rm{PD}}\) và \({\rm{CN}}\) ta có \({\rm{O}}\) là

tâm đường tròn đi qua bốn điểm \({\rm{P}}{\rm{,}}\,\,{\rm{C}}{\rm{,}}\,\,{\rm{D}}{\rm{,}}\,\,{\rm{N}}\).

Mặt khác \(\Delta {\rm{PHD}}\) vuông (gt) có \({\rm{HO}}\) là trung tuyến

\( \Rightarrow {\rm{HO}} = {\rm{OP}} = {\rm{OD}}\) hay \({\rm{H}}\) thuộc đường tròn tâm O.

Vậy năm điểm \({\rm{C}},\,\,{\rm{D}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{H}},\,\,{\rm{P}}\) cùng thuộc đường tròn \({\rm{(O)}}\).

Gọi \({\rm{O}}\) là trung điểm của \({\rm{BC}}\).

Các tam giác vuông \({\rm{BDC}}\) và \({\rm{BEC}}\) có chung cạnh huyền \({\rm{BC}}\) và \({\rm{OD}},\,\,{\rm{OE}}\) là các trung tuyến tương ứng.

Ta có \({\rm{OD}} = {\rm{OE}}\left( { = \frac{1}{2}{\rm{BC}}} \right)\)

\( \Rightarrow {\rm{OD}} = {\rm{OE}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}} = \frac{1}{2}{\rm{a}}{\rm{. }}\)\(\)

Vậy bốn điểm \({\rm{B}},\,\,{\rm{E}},\,\,{\rm{D}},\,\,{\rm{C}}\) cùng thuộc đường tròn tâm \({\rm{O}}\) là trung điểm của \({\rm{BC}}\) và bán kính bằng \(\frac{{\rm{a}}}{2}\).