Cho đường tròn \(\left( {0;10{\rm{\;cm}}} \right)\) dây \({\rm{AB}} = 16{\rm{\;cm}}\).

a) Tính khoảng cách từ tâm \({\rm{O}}\) đến dây \({\rm{AB}}\).

b) Lấy \({\rm{K}}\) thuộc dây \({\rm{AB}}\) sao cho \({\rm{AK}} = 14{\rm{\;cm}}\). Vẽ dây \({\rm{PQ}}\) vuông góc với \({\rm{AB}}\) tại \({\rm{K}}\). Chứng tỏ \({\rm{AB}} = {\rm{PQ}}\).

Ta có \(\widehat {COD} = 90^\circ \) (gt) nên \[\Delta COD\] vuông cân tại O ta có:

\(CD = \sqrt {O{C^2} + O{D^2}}  = \sqrt {2{R^2}}  = R\sqrt 2 \)

Kẻ OH ꓕ CD, tam giác COD cân tại O nên đường cao OH đồng thời là đường trung tuyến hay \(HC = HD\)

\( \Rightarrow HC = HD = OH = \frac{{CD}}{2} = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}\)

Xét tam giác vuông OHE, ta có:

\(EH = \sqrt {O{E^2} - O{H^2}} \) (định lý Pythagore) \[\]

\(EH = \sqrt {{{\left( {2R} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{R\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{R\sqrt {14} }}{2}\)

\[ED\; = {\rm{EH}} - {\rm{HD}} = \frac{{{\rm{R}}\sqrt {14} }}{2} - \frac{{{\rm{R}}\sqrt 2 }}{2}\]

\[ = \frac{{{\rm{R}}\sqrt {14}  - {\rm{R}}\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{\rm{R}}\sqrt 2 \left( {\sqrt 7  - 1} \right)}}{2}\]

\[EC\; = {\rm{EH}} + {\rm{HC}} = \frac{{{\rm{R}}\sqrt {14}  + {\rm{R}}\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{\rm{R}}\sqrt 2 \left( {\sqrt 7  + 1} \right)}}{2}\]

Kẻ \({\rm{OH}} \bot {\rm{AB}}\) tam giác \({\rm{AOB}}\) cân tại \({\rm{O}}\) nên đường cao \({\rm{OH}}\) đồng thời là đường trung tuyến

hay \({\rm{HA}} = {\rm{HB}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{3}{2} = 1,5\left( {{\rm{\;cm}}} \right)\).

Mặt khác vì \({\rm{AB}}//{\rm{CD}}\) nên \({\rm{OH}} \bot {\rm{CD}}\) tại \({\rm{K}}\)

ta cũng có

\({\rm{KC}} = {\rm{KD}} = \frac{{{\rm{CD}}}}{2} = \frac{4}{2} = 2\left( {{\rm{\;cm}}} \right)\)

Khi đó các tam giác AHO và CKO vuông. Theo định lí Pythagore:

\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{A}}{{\rm{H}}^2} + {\rm{O}}{{\rm{H}}^2} = {\rm{O}}{{\rm{A}}^2}\left( { = {{\rm{R}}^2}} \right)}\\{{\rm{C}}{{\rm{K}}^2} + {\rm{O}}{{\rm{K}}^2} = {\rm{O}}{{\rm{C}}^2}\left( { = {{\rm{R}}^2}} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow {\rm{A}}{{\rm{H}}^2} + {\rm{O}}{{\rm{H}}^2} = {\rm{C}}{{\rm{K}}^2} + {\rm{O}}{{\rm{K}}^2}\left( {{\;^{\rm{*}}}} \right)\)

Đặt \({\rm{OK}} = {\rm{x}} \Rightarrow {\rm{OH}} = 3,5 - x\left( {{\rm{**}}} \right)\)

Thay (**) vào (*) ta có

\({1,5^2} + {(3,5 - x)^2} = {2^2} + {x^2}\)
\(2,25 + {3,5^2} - 7x + {x^2} = 4 + {x^2}\)

\( - 7x =  - 10,5\)

\(x = 1,5\,\,{\rm{(cm)}}.\)

Xét tam giác vuông \({\rm{CKO}}\) ta có: \({\rm{C}}{{\rm{O}}^2} = {\rm{O}}{{\rm{K}}^2} + {\rm{C}}{{\rm{K}}^2}\) (định lí Pythagore)

\(\begin{array}{*{20}{r}}{{{\rm{R}}^2}}&{\; = {{1,5}^2} + {2^2} = 6,25}\\{ \Rightarrow {\rm{R}}}&{\; = 2,5\left( {{\rm{\;cm}}} \right).}\end{array}\)