Cho tam giác đều \(ABC\) có \(AB = 2\sqrt 3 {\rm{\;cm}}\). Nửa đường tròn đường kính \(BC\) cắt hai cạnh \(AB\) và \(AC\) lần lượt tại \(D\) và \(E\) (khác \(B\) và \(C\)) (hình vẽ).

a) Chứng tỏ rằng ba cung nhỏ \(BD,\,\,DE\) và \(EC\) bằng nhau. Tính số đo mỗi cung ấy.

b) Tính diện tích của hình viên phân giới hạn bởi dây \(BD\) và cung nhỏ \(BD\).

a) Tam giác \(ABC\) đều (gt) \( \Rightarrow \widehat A = \widehat B = \widehat C = 60^\circ \).

Gọi \(O\) là tâm của nửa đường tròn đường kính \(BC\), ta có tam giác \(BOD\) cân tại \(O\) có \(\widehat B = 60^\circ \left( {{\rm{cmt}}} \right) \Rightarrow \Delta BOD\) là tam giác đều \( \Rightarrow \widehat {{\rm{BOD}}} = 60^\circ \).

Tương tự với tam giác \(COE \Rightarrow \widehat {COE} = 60^\circ \).

Do đó \(\widehat {DOE} = 180^\circ  - \left( {\widehat {BOD} + \widehat {COE}} \right) = 180^\circ  - \left( {60^\circ  + 60^\circ } \right) = 60^\circ \).

Ta có \(\widehat {BOD} = \widehat {DOE} = \widehat {COE} = 60^\circ \)

 $\Rightarrow \text{sd }\stackrel{⏜}{BD}=\text{sd}\stackrel{⏜}{DE}=\text{sd}\stackrel{⏜}{EC}=60°.$

b) Ta có \({{\rm{S}}_{{\rm{vp}}}} = {{\rm{S}}_{\rm{q}}} - {{\rm{S}}_{{\rm{BOD\;}}}}\)

Tam giác \(ABC\) đều \( \Rightarrow BC = AC = AB = 2\sqrt 3 \left( {{\rm{\;cm}}} \right)\)

\(\begin{array}{*{20}{r}} \Rightarrow &{\;OB = OC = \frac{{BC}}{2} = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \left( {{\rm{\;cm}}} \right)}\\{}&{{{\rm{S}}_{\rm{q}}} = \frac{{60}}{{360}} \cdot \pi  \cdot {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} = \frac{1}{2}\pi  = 1,57\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)}\\{{S_{BOD}}}&{\; = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right) \approx 1,30\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)}\end{array}\)

Vậy \({S_{vp}} = 1,57 - 1,30 \approx 0,27\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).