Cho đường thẳng \[a\] và một điểm \(O\) cách \[a\] một khoảng \(4{\rm{\;cm}}\). Vẽ đường tròn tâm \(O\) bán kính \(5{\rm{\;cm}}\).

a) Giải thích vì sao \[a\] và \[\left( O \right)\] cắt nhau.

b) Gọi \(B\) và \(C\) là các giao điếm của đường thẳng \[a\] và đường tròn \(\left( {O;5{\rm{\;cm}}} \right)\). Tính độ dài dây \[BC\].

a) Gọi \(OH\) là khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng \(a\), khi đó \(OH < OB\,\,\left( {4 < 5} \right)\) hay \(d < R\), nên đường thẳng \[a\] cắt đường tròn \(\left( {O;5{\rm{\;cm}}} \right)\) tại \[2\] điểm.

b) Dễ thấy tam giác \(BOC\) cân tại \(O\) \(\left( {OB = OC = R} \right)\) nên đường cao \(OH\) đồng thời là đường trung tuyến hay \(H\) là trung điểm của \(BC\).

Xét tam giác \[BHO\] vuông tại \(H\). Theo định lí Pythagore, ta có:

\(\begin{array}{l}O{B^2} = O{H^2} + B{H^2} \Rightarrow B{H^2} = O{B^2} - O{H^2} = {5^2} - {4^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow BH = \sqrt {{5^2} - {4^2}}  = 3\left( {\;{\rm{cm}}} \right)\end{array}\)

Do đó \(BC = 2BH = 2\,.\,3 = 6\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).