Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 3;AC = 4\) và \(BC = 5\). Chứng minh rằng đường thẳng \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {B;3} \right)\).

Ta có CM và CA là hai tiếp tuyến nên \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)

Tương tự \(\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\)

Mà \[\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} = 180^\circ \]\( \Rightarrow \)\(\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} = 90^\circ \)

Hay tam giác COD vuông tại O

CD là tiếp tuyến tại M nên \(CD \bot OM\)

Xét \(\Delta CMO\) và \(\Delta OMD\)có:

\(\widehat {CMO} = \widehat {DMO} = 90^\circ \), \(\widehat {{O_2}} = \widehat {CDO}\) (cùng phụ với góc DCO)

Nên (g.g)

\( \Rightarrow \)\(\frac{{CM}}{{OM}} = \frac{{OM}}{{MD}}\)

\( \Rightarrow \)\(CM.DM = O{M^2} = {R^2}\) (không đổi)

Mà CM = AC, DM = BD \( \Rightarrow \)\(AC.BD = {R^2}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:

\(\frac{{3AC + BD}}{2} \ge \sqrt {3.AC.BD} \)

\(3AC + BD \ge 2\sqrt {3.AC.BD} \)

\(3AC + BD \ge 2\sqrt 3 .R\)

Dấu “=” xảy ra khi \(3AC = BD = \sqrt 3 .R\) nên \(\widehat {AOC} = 30^\circ \) hay \(\widehat {AOM} = 60^\circ \).

Vậy M di động ở trên (O) sao cho \(\widehat {AOM} = 60^\circ \) thì 3AC + BD nhỏ nhất.

a)Xét ΔAOC có OA = OC (=R)

nên ΔAOC cân tại O.

Lại có AC = R (gt) nên tam giác AOC đều

\( \Rightarrow \widehat {AOC} = 60^\circ \)

\[ \Rightarrow \widehat {COB} = 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ \] (kề bù)

Mặt khác tam giác COB cũng cân tại O có góc ở đỉnh 120°

\[ \Rightarrow \widehat {OBC} = \widehat {OCB} = \frac{{180^\circ  - 120^\circ }}{2} = 30^\circ \]

ΔAOC đều (cmt) \[ \Rightarrow \widehat {ACO} = 60^\circ \].

\[ \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {ACO} + \widehat {OCB} = 60^\circ  + 30^\circ  = 90^\circ \].

Ta có ACB là nửa tam giác đều có cạnh 2R.

\[ \Rightarrow {\rm{ }}BC = \frac{{2R\sqrt 3 }}{2}{\rm{ }} = R\sqrt 3 \]

b) Vì AC = R (gt) nên tam giác AOC đều (cmt) có OI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường phân giác của góc COA hay OM là tia phân giác của \[\widehat {AOC}\].

c) Xét ΔMCO và ΔMAO có:

OM cạnh chung, \[\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}(cmt)\], OC = OA (=R)

Do đó ΔMCO = ΔMAO (c.g.c)

\[ \Rightarrow \widehat {MCO} = \widehat {MAO} = {90^o}\] hay MC ^ OC

Mà C Î (O) nên MC là tiếp tuyến cua đường tròn (O; R).