Cho đường tròn $\left( O \right)$ và điểm \[I\] ở ngoài đường tròn. Gọi \[M\] là giao điểm của đường tròn tâm $K$ đường kính \[IO\] và đường tròn $\left( O \right)$. Chứng minh đường thả̉ng $IM$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$ tại $M$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 26 bài tập Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn (có lời giải) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Xét tam giác $ABC$, ta có: (ảnh 1)$

$M$ là giao điểm của đường tròn tâm $K$ đường kính $IO$ và đường tròn $\left( O \right)$ nên $M$ thuộc $\left( {K;\frac{{IO}}{2}} \right)$, ta có: $KM = KI = KO{\rm{\;}}$ hay $KM = \frac{{IO}}{2}$ (*).

Xét tam giác \[IMO\] có $K$ là trung điém của \[IO\] nên $KM$ là đường trung tuyến và (*) nên tam giác \[IMO\] vuông tại $M$ hay $IM \bot OM$ \[\left( 1 \right)\]

Mặt khác $M \in \left( O \right)$ $\left( 2 \right)$

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] $ \Rightarrow $ đường thẳng $IM$ là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] tại $M$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ một đường thả̉ng $d$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại hai điểm $D$ và $E$. Một điểm $A$ di động trên đường thả̉ng $d$ và $A$ nằm ngoài đường tròn $\left( O \right)$, kẻ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ đến đường tròn ($B$, $C$ là hai tiếp điểm). Gọi $I$ là trung điểm của $DE$, đường thẳng $OI$ cắt đường thẳng $BC$ tại $N$. Chứng minh rằng: Khi $A$ di động trên đường thả̉ng $d$ thì $BC$ luôn đi qua một điểm cố định.

Xem đáp án

Lời giải

$a) Ta có $AC$, $AH$ là tiếp tuyến c (ảnh 1)$

$I$ là trung điểm của $DE\left( {gt} \right) \Rightarrow OI \bot DE$ hay $\Delta OIA$ vuông tại $I$

Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$.

Ta có $\Delta OHN$ vuông tại $H$

Ta có $Δ O H N ∽ Δ O I A$ (g.g) $ \Rightarrow \frac{{ON}}{{OA}} = \frac{{OH}}{{OI}} \Rightarrow ON = \frac{{OA.OH}}{{OI}}$.

Xét $\Delta ABO$ và $\Delta HBO$ có: $\widehat {ABO} = \widehat {BOH} = 90^\circ $, $\widehat {AOB}{\rm{\;}}$ chung.

Do đó $Δ A B O ∽ Δ B H O$ (g.g) $ \Rightarrow \frac{{OB}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OB}}$ $ \Rightarrow OA.OH = O{B^2} = {R^2}$

Do đó $ON = \frac{{{R^2}}}{{OI}}$ (không đổi), $d$ cho trước, $O$ cố định $ \Rightarrow I$ cố định $ \Rightarrow N$ cố định.

Câu 2

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho AC=R. Gọi I là trung điểm của dây AC. Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến Ax tại M. Chứng minh rằng:

a) \[\widehat {ACB}\] có số đo bằng 90°, từ đó suy ra độ dài của BC theo R;

b) OM là tia phân giác của \[\widehat {COA}\];

c) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho AC=R. Gọi I là trung điểm của dây AC. Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến Ax tại M. Chứng minh rằng: (ảnh 1)

a)Xét ΔAOC có OA = OC (=R)

nên ΔAOC cân tại O.

Lại có AC = R (gt) nên tam giác AOC đều

$ \Rightarrow \widehat {AOC} = 60^\circ $

\[ \Rightarrow \widehat {COB} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \] (kề bù)

Mặt khác tam giác COB cũng cân tại O có góc ở đỉnh 120°

\[ \Rightarrow \widehat {OBC} = \widehat {OCB} = \frac{{180^\circ - 120^\circ }}{2} = 30^\circ \]

ΔAOC đều (cmt) \[ \Rightarrow \widehat {ACO} = 60^\circ \].

\[ \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {ACO} + \widehat {OCB} = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ \].

Ta có ACB là nửa tam giác đều có cạnh 2R.

\[ \Rightarrow {\rm{ }}BC = \frac{{2R\sqrt 3 }}{2}{\rm{ }} = R\sqrt 3 \]

b) Vì AC = R (gt) nên tam giác AOC đều (cmt) có OI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường phân giác của góc COA hay OM là tia phân giác của \[\widehat {AOC}\].

c) Xét ΔMCO và ΔMAO có:

OM cạnh chung, \[\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}(cmt)\], OC = OA (=R)

Do đó ΔMCO = ΔMAO (c.g.c)

\[ \Rightarrow \widehat {MCO} = \widehat {MAO} = {90^o}\] hay MC ^ OC

Mà C Î (O) nên MC là tiếp tuyến cua đường tròn (O; R).

Câu 3