Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến tại B với đường tròn (O), trên tiếp tuyến lấy P. Qua A kẻ đường thẳng song song với OP cắt (O) tại Q. Chứng minh PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: AQ // OP (gt)
Suy ra \[\widehat {{A_1}} = \widehat {{O_1}}\] (hai góc đồng vị); \[\widehat {{Q_1}} = \widehat {{O_2}}\] (hai góc so le trong).
Mà \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{Q_1}}\)(ΔAOQ cân) Þ\(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\).
Xét ΔPQO và ΔPBO có:
OP chung, \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)(cmt), OQ = OB (=R)
Vậy ΔPQO = ΔPBO (c.g.c) Þ \(\widehat {PQO} = \widehat {PBO} = 90^\circ .\)
Hay PQ ^ OQ, chứng tỏ PQ là tiếp tuyến của (O).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
Vào phòng luyện đề →Luyện đề →CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi H là giao điểm của OA và BC
ΔBOC cân tại O có OH là đường cao (gt)
nên đồng thời là đường phân giác: \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)
Xét ΔACO và ΔABO có: OB = OC = R,
\(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)(cmt), AO chung
=> ΔACO = ΔABO (c.g.c) =>\(\widehat {ACO} = \widehat {ABO} = {90^o}\)
Chứng tỏ AC là tiếp tuyến của (O).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Ta có: \(DA = DC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\(OA = OC\;( = R)\)
Nên DO là đường trung trực của AC
\( \Rightarrow \) \(DO \bot AC\)
Lại có \(CB \bot AC\) (AB là đường kính)
\( \Rightarrow \) \(DO//BC\)\( \Rightarrow \) \(\widehat {AOD} = \widehat {ABC}\)(đồng vị)
Do đó (g.g)
\( \Rightarrow \) \(\frac{{AO}}{{HB}} = \frac{{AD}}{{HC}}\) \( \Rightarrow \)\(AO.HC = AD.HB\) (1)
Lại có \(IH//AD\)(cùng vuông góc với AB) theo hệ quả của định lí Thalès
\(\frac{{IH}}{{AD}} = \frac{{HB}}{{AB}}\)\( \Rightarrow \)\(AD.HB = IH.AB\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \)\(AO.HC = IH.AB\) mà \(AB = 2AO\)
\( \Rightarrow \)\(AO.HC = IH.2AO\)\( \Rightarrow \)\(HC = 2IH\)
Chứng tỏ I là trung điểm của HC hay CI = HI.
Cách khác:
Có \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (AB là đường kính)
\( \Rightarrow \)\(\widehat {ACE} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ACD} + \widehat {DCE} = 90^\circ \) (1)
\(\Delta ACE\) vuông tại C \( \Rightarrow \)\[\widehat {{A_1}} + \widehat E = 90^\circ \] (2)
Lại có \(\Delta ADC\)cân tại D (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)\( \Rightarrow \)\[\widehat {{A_1}} = \widehat {ACD}\] (3)
Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \) \[\widehat E = \widehat {DCE}\]
Hay \(\Delta EDC\)cân tại D \( \Rightarrow \)\[DE = DC\]
Mà \[DC = DA\]\( \Rightarrow \)\[DE = DA\]
Lại có \[AE\,{\rm{//}}\,CH\,\,( \bot AB)\]
Xét \[\Delta DAB\] có \[IH\,{\rm{//}}\,AD\].
Theo hệ quả của định lí Thalès \[\frac{{IH}}{{AD}} = \frac{{BI}}{{BD}}\] (4)
Tương tự với \[\Delta BDE\] có \[CI//DE\]\[ \Rightarrow \]\[\frac{{IH}}{{AD}} = \frac{{CI}}{{DE}}\] mà \[AD = DE\] (cmt) \( \Rightarrow \)\[IH = CI\].
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập