Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ đường tròn đường kính AO cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm B và C.

a) Chứng minh AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

b) Chứng minh AB=AC.

c) Xác định tia phân giác của \[\widehat {BAC}\] và \[\widehat {BOC}\]

a) Ta có CA = CM; DB = DM (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà \(CD = CM + DM \Rightarrow CD = CA + BD\)

Lại có CO và DO là các tia phân giác của góc kề bù \(\widehat {AOM}\) và \(\widehat {BOM}\) nên \(\widehat {COD} = 90^\circ .\)

b) Gọi I là trung điểm của CD ta có OI là đường trung tuyến cua tam giác vuông COD nên \[IO = IC = ID\] hay I là tâm của đuờng tròn đường kính CD.

Dễ thấy tứ giác ABCD là hình thang vuông có OI là đường trung bình nên IO // AC và BD mà AC và BD cùng vuông góc với AB (gt)

Þ IO ^ AB.

Chứng tỏ AB là tiếp tuyến cúa đường tròn đường kính CD.

\(I\) là trung điểm của \(DE\left( {gt} \right) \Rightarrow OI \bot DE\) hay \(\Delta OIA\) vuông tại \(I\)

Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC\).

Ta có \(\Delta OHN\) vuông tại \(H\)

Ta có $\Delta OHN\backsim \Delta OIA$ (g.g) \( \Rightarrow \frac{{ON}}{{OA}} = \frac{{OH}}{{OI}} \Rightarrow ON = \frac{{OA.OH}}{{OI}}\).

Xét \(\Delta ABO\) và \(\Delta HBO\) có: \(\widehat {ABO} = \widehat {BOH} = 90^\circ \), \(\widehat {AOB}{\rm{\;}}\) chung.

Do đó  $\Delta ABO\backsim \Delta BHO$(g.g) \( \Rightarrow \frac{{OB}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OB}}\) \( \Rightarrow OA.OH = O{B^2} = {R^2}\)

Do đó \(ON = \frac{{{R^2}}}{{OI}}\) (không đổi), \(d\) cho trước, \(O\) cố định \( \Rightarrow I\) cố định \( \Rightarrow N\) cố định.