Cho góc \[\widehat {xOy} = 60^\circ \]. Đường tròn tâm K bán kính R tiếp xúc với Ox tại A và Oy tại B. Từ điểm M trên cung nhỏ AB, vẽ tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến này cắt Ox, Oy lần lượt tại C và D.

a) Tính chu vi \(\Delta COD\)theo R. Chứng tỏ chu vi đó không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB.

b) Chứng tỏ số đo \(\widehat {CKD}\) không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB.

a) Gọi I là tâm của đường tròn đường kính OA, ta có I là trung điểm của OA

Đường tròn đường kính OA cắt đường tròn (O; R) tại B và C nên ta có \[IA = IB = IO = \frac{{OA}}{2}\].

Xét tam giác ABO có \[IB = \frac{{OA}}{2}\] (cmt) nên tam giác ABO vuông tại B hay AB ^ OB.

Chứng minh tương tự, ta có AC ^ OC mà B,C Î (O)

Do đó AB và AC là hai tiếp tuyến của dường tròn (O; R).

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một diểm, ta có AB=AC.

c) Tia phân giác của góc BAC và góc BOC là tia OA.

a) Ta có CA = CM; DB = DM (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà \(CD = CM + DM \Rightarrow CD = CA + BD\)

Lại có CO và DO là các tia phân giác của góc kề bù \(\widehat {AOM}\) và \(\widehat {BOM}\) nên \(\widehat {COD} = 90^\circ .\)

b) Gọi I là trung điểm của CD ta có OI là đường trung tuyến cua tam giác vuông COD nên \[IO = IC = ID\] hay I là tâm của đuờng tròn đường kính CD.

Dễ thấy tứ giác ABCD là hình thang vuông có OI là đường trung bình nên IO // AC và BD mà AC và BD cùng vuông góc với AB (gt)

Þ IO ^ AB.

Chứng tỏ AB là tiếp tuyến cúa đường tròn đường kính CD.