Cho điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) với \(OA = 2R\). Vẽ hai tiếp tuyến \(AB\), \(AC\) đến đường tròn (\(B\), \(C\) là tiếp điểm). Chứng minh rằng \(\Delta ABC\) đều và tính các cạnh của nó theo \(R\).

Ta có \(MA = MB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên tam giác \(AMB\) cân tại \(M\) có \(\widehat {AMB} = {60^ \circ }\left( {gt} \right)\) nên tam giác \(AMB\) đều \( \Rightarrow MA = MB = AM\) mà

\(MA + MB + AB = 18\left( {{\rm{\;}}cm} \right) \Rightarrow AB = \frac{{18}}{3} = 6\left( {{\rm{\;}}cm} \right)\)

a) Dễ thấy tứ giác \(MBOA\) là hình chữ nhật (có ba góc vuông)

Lại có \(MA = MB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Nên \(MBOA\) là hình vuông (hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông)\( \Rightarrow MA = MB = 5{\rm{\;}}cm{\rm{.\;}}\)

b) \(DB\) và \(DI\) là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(OD\) là tia phân giác của \(\widehat {MOB} = {45^ \circ }\) \( \Rightarrow \widehat {DOB} = \widehat {DOI} = \frac{{45^\circ }}{2} = 22,5^\circ \).

Xét tam giác \(DBO\) vuông tại \(B\), có \(\widehat {DOB} = 22,5^\circ \) và cạnh góc vuông \(OB = 5{\rm{\;}}cm\).

Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\[BD = OB \cdot \tan \widehat {DOB} = 5 \cdot \tan 22,5^\circ  \approx 2,1\,\,\left( {cm} \right)\] \( \Rightarrow DI = DB \approx 2,1\,\,\left( {cm} \right)\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Ta có \(MD = MC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Tam giác \(DMC\) cân có \(MI\) là đường cao nên đồng thời là trung tuyếr. Hay \(IC = DI \approx 2,1\) (cm) \( \Rightarrow CD = 2.2,1 \approx 4,2\,\,\left( {cm} \right)\)