Cho đường tròn \((O;R)\) đường kính \(AB\). Gọi \(S\) là trung điểm của \(OA\) vẽ đường tròn tâm \(S\) đi qua \(A\).

a) Chứng minh đường tròn \((O)\) và đường tròn \((S)\) tiếp xúc nhau tại \(A\).

b) Một đường thẳng đi qua \(A\) cắt đường tròn \((S)\) tại \(M\) và cắt \((O)\) tại \(N\) (\(M,N\) khác \(A\)) chứng minh \(SM\,{\rm{//}}\,ON\).

c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(ON\), đường thẳng \(AI\) cắt \(NB\) tại \(K\). Chứng minh rằng \(BK = 2KN\).

Cho đường tròn \((K)\) có đường kính \(BC\). Gọi \(D\) là trung điểm của \(KC\) và \(I\) là tâm đường tròn có đường kính \(BD\).

a) Chứng tỏ đường tròn \((K)\) và \[\left( I \right)\] tiếp xúc nhau.

b) Qua \(B\) vẽ đường thẳng (không trùng với \(BC\)) cắt \((K)\) tại \(A\) và cắt \((I)\) tại \(E\). Chứng tỏ \(KA\,{\rm{//}}\,IE\) và tỉ số \(\frac{{CA}}{{DE}}\) không đổi.

Cho hai đường tròn \((O)\) và \(\left( {{O^\prime }} \right)\) cắt nhau tại hai điểm \(A\) và \(B\) (xem hình vẽ). Vẽ hình bình hành \(OB{O^\prime }C\). Chứng minh rằng \(AC\,{\rm{//}}\,O{O^\prime }\).

Cho đường tròn \((O;4\;{\rm{cm}})\) và \(\left( {O';\,\,3\,\;{\rm{cm}}} \right)\) và đoạn nối tâm \(O{O^\prime } = 5\,{\rm{cm}}\).

a) Chứng tỏ đường tròn \((O)\) và \(\left( {O'} \right)\) cắt nhau tại hai điểm \(A\) và \(B\).

b) Tính độ dài \(AB\).

c) Gọi \(AC,AD\) lần lượt là đường kính của đường tròn \((O)\) và \(\left( {O'} \right)\). Chứng minh rằng \(C,B,D\) thẳng hàng.

Cho hai đường tròn \[(O;10\;{\rm{cm}})\] và \(\left( {{O^\prime };17\;{\rm{cm}}} \right)\) cắt nhau tại hai điểm \(A\) và \(B\), biết \(AB = 16\;{\rm{cm}}\). Tính độ dài đoạn \(O{O^\prime }\).

Cho đường tròn \((O;\,3cm)\) và đường tròn \((O';\,1cm)\) tiếp xúc ngoài nhau tại \(A\), vẽ hai bán kính \(OB\) và \(O'C\) song song với nhau và cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là \(OO'\).

a) Tính \(\widehat {BAC}\).

b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BC\) và \(OO'\). Tính \(OI\).

Cho đường tròn \((O;\,\,5cm)\) và đường tròn \((O';\,\,3cm)\) tiếp xúc ngoài nhau tại \(A.\) Một đường thẳng qua \(A\) hợp với \(OO'\) một góc \(30^\circ \) cắt \((O)\) tại \(B\) và \((O')\) tại \(C.\)

a) Chứng minh \(\widehat {AOB} = \widehat {AO'C}\) và \[OB\,{\rm{//}}\,O'C\]

b) Tiếp tuyến tại \(C\) của \((O')\) cắt \(OO'\) tại \(D\). Tính \(CD,\,O'D.\)