Từ một tờ giấy hình vuông người ta cắt ra một hình tròn có diện tích lớn nhất. Biết diện tích phần cắt bỏ đi là \[86\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\]. Diện tích của hình tròn là

Lời giải

Chọn D

- Xét lục giác đều \[ABCDEF\] nội tiếp đường tròn \[(O;R)\]

Suy ra \[AB = R\]

Khoảng cách từ \[O\]đến \[AB\]là \[OI = R\sin 60^\circ  = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}\]

- Diện tích hình thang \[ABCF\] là

\[{S_{ABCF}} = \frac{1}{2}(AB + CF).OI = \frac{1}{2}(R + 2R)\frac{{R\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{4}\]

- Diện tích hình lục giác đều nội tiếp hình tròn \[(O;R)\]

\[S = 2{S_{ABCF}} = 2.\frac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{2}\]

Vì diện tích phần cắt bỏ đi là \[54\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\] nên ta có phương trình

\[\pi {R^2} - \frac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{2} = 54\] nên \[{R^2} = \frac{{108}}{{2\pi  - 3\sqrt 3 }}\].

Diện tích hình lục giác đều nội tiếp hình tròn \[(O;R)\]

\[{S_{ABC{\rm{D}}EF}} = {R^2}\frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \frac{{108}}{{2\pi  - 3\sqrt 3 }} \cdot \frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \frac{{162\sqrt 3 }}{{2\pi  - 3\sqrt 3 }} \approx 258,13\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}})\].

Lời giải

Chọn B

Ta có \(\widehat {ABC} = \frac{1}{2}\widehat {AOC} = \frac{1}{2}.120^\circ  = 60^\circ \) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn )

Tứ giác \(BDHE\) có \(\widehat {BDH} + \widehat {DHE} + \widehat {HEB} + \widehat {DBE} = {360^{\rm{o}}}\) (định lí tổng các góc của tứ giác)

\( \Rightarrow \widehat {DHE} = 360^\circ  - \left( {\widehat {BDH} + \widehat {HEB} + \widehat {DBE}} \right) = 360^\circ  - \left( {90^\circ  + 90^\circ  + 60^\circ } \right) = 120^\circ \).

mà \(\widehat {AHE} + \widehat {DHE} = 180^\circ \) (kề bù)

suy ra \(\widehat {AHE} = 180^\circ  - \widehat {DHE} = 180^\circ  - 120^\circ  = 60^\circ \).