Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \[\widehat B = 60^\circ \], \[AB = 2\sqrt 3 \,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\] Trên tia đối của tia \[AB\] lấy điểm \[N\] sao cho \[AB = \frac{2}{3}AN\]. Khi đó:          

a) Đúng.

Vì tam giác \[ABC\] cân tại \[A\] nên \[AD\] vừa là đường phân giác, vừa là đường cao của tam giác đó.

Do đó \[AD \bot CB\] tại \[D\]. Do đó, tam giác \[ABD\] vuông tại \[D\].

b) Đúng.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \[ABD\] vuông tại \[D\], có:

\[A{D^2} + B{D^2} = A{B^2}\]

\[A{D^2} = A{B^2} - B{D^2}\]

\[A{D^2} = 9\]

\[AD = 3\] (cm).

c) Sai.

Vì tam giác \[ABD\] vuông tại \[D\], ta có: \[\tan \widehat B = \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{3}{4}\]. Vậy \[\tan \widehat B = \frac{3}{4}\].

d) Sai.

Vì tam giác \[ABD\] vuông tại \[D\]nên \[\cot \widehat B = \frac{{BD}}{{AD}} = \frac{4}{3}\].

Vì tam giác \[ABC\] cân tại \[A\] nên \[\widehat B = \widehat C\] suy ra \[\tan \widehat B = \tan \widehat C = \frac{3}{4}\].

Vì \[\frac{3}{4} < \frac{4}{3}\] nên \[\tan \widehat C < \cot \widehat B\].

Đáp án: 30

Gọi \[MNPQ\] là mảnh vườn hình chữ nhật và \[\alpha \] là góc giữa đường chéo \[NQ\] và chiều dài \[MN\] của mảnh vườn hình chữ nhật.

Vì tam giác \[MNQ\] vuông tại \[M\] nên \[\tan \alpha = \tan \widehat {MNQ} = \frac{{MQ}}{{MN}} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{30}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\]

Sử dụng máy tính cầm tay, chuyển máy tính về chế độ “độ”, sau đó ấn liên tiếp các phím

$\boxed{\text{\hspace{0.17em}SHIFT\hspace{0.17em}}}\boxed{\tan }\boxed{\sqrt{}}\boxed{3}\boxed{⊳}\boxed{÷}\boxed{3}\boxed{=}$ 

Màn hình hiện lên kết quả: \[30.\] Nghĩa là, \[\alpha = 30^\circ .\]

Do đó góc giữa đường chéo và chiều dài của mảnh vườn bằng \[30^\circ .\]

Vậy ta chọn phương án A.