Tam giác \[ABC\] có ba góc \[A,\,\,B,\,\,C\] lần lượt tỉ lệ thuận với 3; 2; 1. Khi đó:          

a) Đúng.

Vì ba góc \[A,\,\,B,\,\,C\] lần lượt tỉ lệ thuận với \[\frac{{\widehat A}}{3} = \frac{{\widehat B}}{2} = \frac{{\widehat C}}{1}\].

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \[\frac{{\widehat A}}{3} = \frac{{\widehat B}}{2} = \frac{{\widehat C}}{1} = \frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{{3 + 2 + 1}} = \frac{{180^\circ }}{6} = 30^\circ \].

Do đó, \[\widehat A = 90^\circ ,\,\,\widehat B = 60^\circ ,\,\,\widehat C = 30^\circ \].

Vậy tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\].

b) Sai.

Vì \[\widehat B = 60^\circ \] nên \[\sin B = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].

c) Sai.

Vì \[\widehat C = 30^\circ \] nên \[\cos C = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]. Vậy \[\sin B = \cos C.\]

d) Sai.

Vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nên \[\tan B = \frac{{AC}}{{AB}}\], do đó \[BC = 2\sqrt 3 \,\,\,{\rm{cm}}\].

Vậy \[AC = AB\sqrt 3 \].