Cho \[\Delta ABC\] cân tại \[A\], vẽ hai đường cao \[BE\] và \[CF\] cắt nhau tại \[H\]. Gọi \[I,\,\,K\] lần lượt là điểm trên \[BH\] và \[CH\] sao cho \[HE = HI,\,\,HF = HK\]. Gọi \[M\] là trung điểm của \[AH\] và \[O\] là trung điểm của \[BC.\]

 

Khi đó:

a) Sai.

Xét \[\Delta CMB\] và \[\Delta DNC\], có:

\[\widehat {MBC} = \widehat {NCD} = 90^\circ \]

\[\widehat C\] chung

\[BC = DC\]

Do đó, \[\Delta CMB = \Delta CND\] (cạnh góc vuông – góc nhọn).

b) Đúng.

Vì \[\Delta CMB = \Delta CND\] (cmt)

Suy ra \[\widehat {DNC} = \widehat {CMB}\] (hai góc tương ứng)

Ta có: \[\widehat {ECN} + \widehat {ENC} = \widehat {ECN} + \widehat {CMB} = 90^\circ \]

Do đó, \[\widehat {CEN} = 90^\circ \] hay \[CM \bot DN\].

c) Đúng.

Nhận thấy \[\Delta ADM\] vuông tại \[A\] nên \[A,\,D,\,M\] thuộc đường tròn đường kính \[DM\].

                  \[\Delta DME\] vuông tại \[E\] nên \[E,\,D,\,M\] thuộc đường tròn đường kính \[DM\].

Do đó, \[A,\,\,D,\,\,E,\,\,M\] cùng thuộc một đường tròn đường kính \[DM\].

d) Sai.

Vì \[AM\parallel IC\] và \[AM = IC = \frac{1}{2}AB\] nên \[AMCI\] là hình bình hành.

Do đó, \[AI\parallel MC\].

Suy ra \[\Delta ADE\] cân tại \[A\], do đó \[AD = AE = AB\].

Vậy \[B,\,\,D,\,\,E\] thuộc đường tròn tâm \[A\] bán kính \[AB\].

Đáp án đúng là: B

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), gọi \(O\) là trung điểm của cạnh huyền \(BC\), khi đó ta có \(AO\) là đường teung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(AO = \frac{{BC}}{2} = BO = CO\)

Do đó đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(BC\) đi qua ba đỉnh của tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

Vậy bán kính của đường tròn đó là \(\frac{{BC}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)