Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A\] có \[BC = 12\,\,{\rm{cm}}{\rm{,}}\] đường cao \[AH = 4\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\]Bán kính của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác \[ABC\] bằng bao nhiêu?

a) Đúng.

Vì đường thẳng \[d\] vuông góc với \[OA\] tại trung điểm \[M\] của \[OA\] nên đường thẳng \[d\] là đường trung trực của đoạn \[OA.\]

Do đó đường thẳng \[d\] là trục đối xứng của đoạn \[OA.\]

b) Đúng.

Xét \[\Delta OBM\] và \[\Delta ABM,\] có:

\[\widehat {BMO} = \widehat {BMA} = 90^\circ ;\] \[BM\] là cạnh chung; \[OM = AM\] (do \[M\] là trung điểm \[OA\])

Do đó \[\Delta OBM = \Delta ABM\] (c.g.c)

Suy ra \[OB = AB\] (cặp cạnh tương ứng)

Mà tam giác \[OAB\] cân tại \(O\) (do \[OA = OB)\] nên tam giác \[OAB\] đều.

c) Sai.

Ta có \[OA = OB = 3{\rm{\;(cm)}}\]. Vì \[M\] là trung điểm \[OA\] nên \[OM = \frac{{OA}}{2} = \frac{3}{2}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \[OBM\] vuông tại \[M,\] ta được: \[O{B^2} = B{M^2} + O{M^2}\]

Suy ra \[B{M^2} = O{B^2} - O{M^2} = {3^2} - {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{27}}{4}\]. Do đó \[BM = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

d) Đúng.

Vì đường thẳng \[OA\] là trục đối xứng của \[\left( O \right)\] nên điểm đối xứng với điểm \[B\] qua đường thẳng \[OA\] phải vừa thuộc \[\left( O \right)\], vừa thuộc đường vuông góc hạ từ \[B\] xuống \[OA.\]

Tức là \[M\] là trung điểm của \(BC\) nên \[BC = 2BM = 2 \cdot \frac{{3\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

a) Sai.

Xét \[\Delta CMB\] và \[\Delta DNC\], có:

\[\widehat {MBC} = \widehat {NCD} = 90^\circ \]

\[\widehat C\] chung

\[BC = DC\]

Do đó, \[\Delta CMB = \Delta CND\] (cạnh góc vuông – góc nhọn).

b) Đúng.

Vì \[\Delta CMB = \Delta CND\] (cmt)

Suy ra \[\widehat {DNC} = \widehat {CMB}\] (hai góc tương ứng)

Ta có: \[\widehat {ECN} + \widehat {ENC} = \widehat {ECN} + \widehat {CMB} = 90^\circ \]

Do đó, \[\widehat {CEN} = 90^\circ \] hay \[CM \bot DN\].

c) Đúng.

Nhận thấy \[\Delta ADM\] vuông tại \[A\] nên \[A,\,D,\,M\] thuộc đường tròn đường kính \[DM\].

                  \[\Delta DME\] vuông tại \[E\] nên \[E,\,D,\,M\] thuộc đường tròn đường kính \[DM\].

Do đó, \[A,\,\,D,\,\,E,\,\,M\] cùng thuộc một đường tròn đường kính \[DM\].

d) Sai.

Vì \[AM\parallel IC\] và \[AM = IC = \frac{1}{2}AB\] nên \[AMCI\] là hình bình hành.

Do đó, \[AI\parallel MC\].

Suy ra \[\Delta ADE\] cân tại \[A\], do đó \[AD = AE = AB\].

Vậy \[B,\,\,D,\,\,E\] thuộc đường tròn tâm \[A\] bán kính \[AB\].