Cho đường tròn \[\left( {O;\,\,5\,\,{\rm{cm}}} \right)\] và đường tròn \[\left( {O';\,\,3\,\,{\rm{cm}}} \right)\] tiếp xúc ngoài nhau tại \[A\]. Một đường thẳng qua \[A\] hợp với \[OO'\] một góc \[30^\circ \] cắt \[\left( O \right)\] tại \[B\] và \[\left( {O'} \right)\] tại \[C\]. Tiếp tuyến tại \[C\] của \[\left( {O'} \right)\] cắt \[\left( {OO'} \right)\] tại \[D\]. Tính \[O'D\] (Đơn vị: cm).

a) Đúng.

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \[IB = IA = IC\] và \[\widehat {{I_1}} = \widehat {{I_2}};\,\widehat {{I_3}} = \widehat {{I_4}}\].

Vì \[IB = IA = IC\] nên theo tính chất đường trung tuyến suy ra \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] hay \[\widehat {BAC} = 90^\circ \].

b) Đúng.

Ta có: \[\widehat {{I_1}} + \widehat {{I_2}} + \widehat {{I_3}} + \widehat {{I_4}} = 180^\circ \]

            \[2\widehat {{I_2}} + 2\widehat {{I_3}} = 180^\circ \]

            \[2\left( {\widehat {{I_2}} + \widehat {{I_3}}} \right) = 180^\circ \]

             \[\widehat {{I_2}} + \widehat {{I_3}} = 90^\circ \]

             \[\widehat {OIO'} = 90^\circ \].

c) Sai.

Xét \[\Delta AOI\] và \[\Delta AO'I\] có:

\[\widehat {OAI} = \widehat {O'AI} = 90^\circ \]

\[\widehat {{I_2}} = \widehat {AO'I}\] (cùng phụ với \[\widehat {{I_3}}\])

Do đó, $\Delta AOI\backsim \Delta O^{\text{'}}AI$ (g.g)

d) Đúng.

Vì (cmt) nên \[A{I^2} = OA \cdot O'A = 9 \cdot 4 = 36\], suy ra \[IA = 6\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Do đó, \[BC = 2IA = 12\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Đáp án đúng là: C

Vì \[{O_1}A = {O_1}B\] nên tam giác \[{O_1}AB\] cân tại \[{O_1}.\] Do đó \[\widehat {{O_1}AB} = \widehat {{O_1}BA}.\]  

Chứng minh tương tự, ta được \[\widehat {{O_2}AC} = \widehat {{O_2}CA}.\]

Ta có đường thẳng \[\left( d \right)\] tiếp xúc với \[\left( {{O_1}} \right),\left( {{O_2}} \right)\] lần lượt tại \[B,C\] nên \[{O_1}B \bot BC\] tại \[B\] và \({O_2}C \bot BC\) tại \(C.\)

Xét tứ giác \({O_1}BC{O_2}\) ta có: \[\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = 360^\circ - \widehat {B\,} - \widehat {C\,} = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ \]

Suy ra \[\left( {180^\circ - \widehat {{O_1}AB} - \widehat {{O_1}BA}} \right) + \left( {180^\circ - \widehat {{O_2}AC} - \widehat {{O_2}CA}} \right) = 180^\circ \]

Khi đó \[2 \cdot \widehat {{O_1}AB} + 2 \cdot \widehat {{O_2}AC} = 180^\circ \]

Vì vậy \[2 \cdot \left( {\widehat {{O_1}AB} + \widehat {{O_2}AC}} \right) = 180^\circ \]

Suy ra \[\widehat {{O_1}AB} + \widehat {{O_2}AC} = 90^\circ \]

Ta có \[\widehat {{O_1}AB} + \widehat {BAC} + \widehat {{O_2}AC} = 180^\circ \]

Suy ra \[\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat {{O_1}AB} + \widehat {{O_2}AC}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .\]

Vậy tam giác \[ABC\] vuông tại \[A.\]