Cho đường tròn \[\left( {O;\,\,5\,\,{\rm{cm}}} \right)\] và đường tròn \[\left( {O';\,\,3\,\,{\rm{cm}}} \right)\] tiếp xúc ngoài nhau tại \[A\]. Một đường thẳng qua \[A\] hợp với \[OO'\] một góc \[30^\circ \] cắt \[\left( O \right)\] tại \[B\] và \[\left( {O'} \right)\] tại \[C\]. Tiếp tuyến tại \[C\] của \[\left( {O'} \right)\] cắt \[\left( {OO'} \right)\] tại \[D\]. Tính \[O'D\] (Đơn vị: cm).

Đáp án đúng là: C

Vì \[{O_1}A = {O_1}B\] nên tam giác \[{O_1}AB\] cân tại \[{O_1}.\] Do đó \[\widehat {{O_1}AB} = \widehat {{O_1}BA}.\]  

Chứng minh tương tự, ta được \[\widehat {{O_2}AC} = \widehat {{O_2}CA}.\]

Ta có đường thẳng \[\left( d \right)\] tiếp xúc với \[\left( {{O_1}} \right),\left( {{O_2}} \right)\] lần lượt tại \[B,C\] nên \[{O_1}B \bot BC\] tại \[B\] và \({O_2}C \bot BC\) tại \(C.\)

Xét tứ giác \({O_1}BC{O_2}\) ta có: \[\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = 360^\circ - \widehat {B\,} - \widehat {C\,} = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ \]

Suy ra \[\left( {180^\circ - \widehat {{O_1}AB} - \widehat {{O_1}BA}} \right) + \left( {180^\circ - \widehat {{O_2}AC} - \widehat {{O_2}CA}} \right) = 180^\circ \]

Khi đó \[2 \cdot \widehat {{O_1}AB} + 2 \cdot \widehat {{O_2}AC} = 180^\circ \]

Vì vậy \[2 \cdot \left( {\widehat {{O_1}AB} + \widehat {{O_2}AC}} \right) = 180^\circ \]

Suy ra \[\widehat {{O_1}AB} + \widehat {{O_2}AC} = 90^\circ \]

Ta có \[\widehat {{O_1}AB} + \widehat {BAC} + \widehat {{O_2}AC} = 180^\circ \]

Suy ra \[\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat {{O_1}AB} + \widehat {{O_2}AC}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .\]

Vậy tam giác \[ABC\] vuông tại \[A.\]

Đáp án đúng là: A

Để hai đường tròn \[\left( {O;5{\rm{\;cm}}} \right)\] và \(\left( {I;R} \right)\) ở ngoài nhau thì \(OI > 5 + R\)

Hay \(7 > 5 + R\) suy ra \(R < 2{\rm{\;cm}}.\)

Trong các phương án trên, ta thấy chỉ có giá trị \(R = 1{\rm{\;cm}}\) thỏa mãn điều kiện trên.