Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(2{\rm{\;cm}}.\) Gọi \(I,\,\,J\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,CD.\) Vị trí tương đối của đường tròn \(\left( {A;\,AI} \right)\) và \(\left( {C;\,CJ} \right)\) là          

Đáp án: 4,25

Gọi bán kính của đường tròn \[\left( O \right)\] là \[R,\] ta có:

\[OA = OB = OC = R\] và \[OH = OC - HC = R - 0,5 = R - \frac{1}{2}\].

Tam giác \[AOB\] cân tại \[O\] nên đường cao \[OH\] đồng thời là trung tuyến hay \[H\] là trung điểm của \[AB\], ta có: \[HA = HB = \frac{{AB}}{2} = 2\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Xét tam giác \[AHO\] vuông tại \[H\], áp dụng định lí Pythagore, ta có:

\[O{A^2} = O{H^2} + A{H^2}\] hay \[{R^2} = {\left( {R - \frac{1}{2}} \right)^2} + {2^2}\]

\[{R^2} = {R^2} - R + \frac{1}{4} + 4\]

\[R = \frac{{17}}{4}\]

\[R = 4,25\] (m).

Vậy bán kính của guồng nước là \[4,25\] m.

Đáp án đúng là: C

Vì \(AB\) và \(AC\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt nhau tại \(A\) nên \(AO\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}.\) Do đó \[\widehat {BAO} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ .\]

Do \(AB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(B\) nên \(AB \bot OB\).

Khi đó \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) có \[\widehat {BAO} = 45^\circ \] nên là tam giác vuông cân tại \(B\).