Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{1 + 2 + 3 + ... + n}}{{{n^2} + 1}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Lời giải

Chọn A.

Ta có: \(y\left( 1 \right) = 1\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}{{1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {1 + x + {x^2}} \right) = 4\)

Nhận thấy: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = y\left( 1 \right)\). Suy ra \(y\) liên tục phải tại \(x = 1\).

Lời giải

Chọn C.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sin \pi x = 0\)\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\) do đó hàm số gián đoạn tại \(x = 1\).

Tương tự: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \left( {x + 1} \right) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \sin \pi x = 0\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} f\left( x \right)\)\( = f\left( { - 1} \right)\) do đó hàm số liên tục tại \(x =  - 1\).

Với \(x \ne  \pm 1\) thì hàm số liên tục trên tập xác định.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).