Phương trình lượng giác \(\sqrt 3 \,\tan \,x + 3 = 0\) có nghiệm là

Lời giải

Chọn B.

\[{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\]\[ \Rightarrow {\cos ^2}\alpha {\rm{ = 1}} - {\sin ^2}\alpha  = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\] \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\alpha  = \frac{4}{5}\\{\rm{cos}}\alpha  =  - \frac{4}{5}\end{array} \right.\)

Vì \({\rm{90}}^\circ  < \alpha  < 180^\circ \)\( \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha  =  - \frac{4}{5}\). Vậy \(\tan \alpha  =  - \frac{3}{4}\) và \(\cot \alpha  =  - \frac{4}{3}\).

\(E = \frac{{\cot \alpha  - 2\tan \alpha }}{{\tan \alpha  + 3\cot \alpha }} = \frac{{ - \frac{4}{3} - 2.\left( { - \frac{3}{4}} \right)}}{{ - \frac{3}{4} + 3.\left( { - \frac{4}{3}} \right)}} =  - \frac{2}{{57}}\).

Lời giải

Chọn A.

\(\begin{array}{l}{\sin ^3}x + \sin x\cos x = 1 - {\cos ^3}x \Leftrightarrow {\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 1 - \sin x\cos x\\ &  &  &  &  \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x} \right) = 1 - \sin x\cos x\\ &  &  &  &  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - \sin x\cos x = 0\\\sin x + \cos x = 1\end{array} \right.\\ &  &  &  &  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 2\,\,\left( {{\rm{VN}}} \right)\\\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

Vì \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow x \in \left\{ {0;\frac{\pi }{2}} \right\}\).