Theo các chuyên gia về sức khỏe, người trưởng thành cần đi bộ từ \(5\,\,000\) bước mỗi ngày sẽ rất tốt cho sức khỏe. Để rèn luyện sức khỏe, anh Sơn và chị Hà đề ra mục tiêu mỗi ngày một người phải đi bộ ít nhất \(6\,\,000\) bước. Hai người cùng đi bộ ở công viên và thấy rằng, nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước. Hai người cùng giữ nguyên tốc độ đi như vậy nhưng chị Hà đi trong 5 phút thì lại đi nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước. Hỏi mỗi ngày anh Sơn và chị Hà cùng đi bộ trong 1 giờ thì họ đã đạt được số bước tối thiểu mà mục tiêu đề ra hay chưa? (Giả sử tốc độ đi bộ hàng ngày của hai người không đổi)

Hướng dẫn giải

a) Gọi \[F\] là trung điểm của \[AO\]. Khi đó \[FO = FA = \frac{1}{2}AO\].

Xét \[\Delta OMN\] cân tại \[O\] (do \[OM = ON\]) có \[OE\] là đường trung tuyến nên cũng là đường cao của \[\Delta OMN\], suy ra \[MN \bot OE\] tại \[E\], suy ra \[\widehat {OEM} = 90^\circ \] hay \[\Delta EAO\] vuông tại \[E\].

Xét \[\Delta EAO\] vuông tại \[E\] có \[EF\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AO\) nên \[EF = \frac{1}{2}AO\].

Xét \[\Delta CAO\] vuông tại \[C\] có \[CF\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AO\) nên \[CF = \frac{1}{2}AO\].

Vì \[EF = CF = FO = FA = \frac{1}{2}AO\] nên bốn điểm \[A,O,E,C\] cùng thuộc đường tròn tâm \[F\] đường kính \[AO.\]

b) ⦁ Chứng minh \[\widehat {BIC} = \widehat {AOC}\]

Xét đường tròn \[\left( O \right)\] có: \[AB,AC\] là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \[A\], suy ra \[OA\] là đường phân giác của \[\widehat {BOC}\], do đó \[\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\].

Mặt khác, \[\widehat {CIB} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\] (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \[BC\])

Do đó, ta có: \[\widehat {BIC} = \widehat {AOC}\].

• Chứng minh \[BI\,{\rm{//}}\,MN\]

Xét đường tròn \[\left( F \right)\], có: \[\widehat {AEC} = \widehat {AOC}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[AC\]).

Mà \[\widehat {CIB} = \widehat {AOC}\] (chứng minh trên) nên \[\widehat {AEC} = \widehat {BIC}\]

Lại có \[\widehat {AEC},\,\,\widehat {BIC}\] ở vị trí đồng vị nên \[BI\,{\rm{//}}\,MN\].

c)

Vẽ \[NG \bot AB\] kéo dài tại \[G\] và đường kính \[BN'\] của đường tròn \(\left( O \right)\).

Ta có: \[{S_{AIN}} = {S_{ABN}} = \frac{1}{2}NG.AB\] (vì \[BI\,{\rm{//}}\,MN\]).

Để diện tích \[AIN\] lớn nhất thì \[\frac{1}{2}NG.AB\] đạt giá trị lớn nhất, mà \[AB\] là đường kính đường tròn \[\left( O \right)\] nên có giá trị không đổi, do đó ta cần \[NG\] đạt giá trị lớn nhất.

Mà \[NG \le BN\] (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

Lại có, \[BN \le BN'\] (trong một đường tròn, độ dài các dây cung luôn nhỏ hơn hoặc bằng đường kính).

Do đó, \[NG\] đạt giá trị lớn nhất khi \[NG = BN'\] hay \[G \equiv B\], hay \[NB \bot AB,OB \bot AB\].

Suy ra \[B,O,N\] thẳng hàng.

Vậy diện tích \[AIN\] lớn nhất khi \[B,O,N\] thẳng hàng.

Đặt \[DH = x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\], \[x > 0\].

Xét \[\Delta DHA\] vuông tại \[H\] có: \[\tan \widehat {DAH} = \frac{{DH}}{{HA}}\] nên \[HA = \frac{{DH}}{{\tan \widehat {DAH}}}\].

Xét \[\Delta DHB\] vuông tại \[H\] có: \[\tan \widehat {DBH} = \frac{{DH}}{{HB}}\] nên \[HB = \frac{{DH}}{{\tan \widehat {DBH}}}.\]

Ta có: \[HB - HA = AB\] suy ra \[\frac{{DH}}{{\tan \widehat {DBH}}} - \frac{{DH}}{{\tan \widehat {DAH}}} = 56\]

\[x\left( {\frac{1}{{\tan 11^\circ }} - \frac{1}{{\tan 15^\circ }}} \right) = 56\]

\[x = \frac{{56}}{{\frac{1}{{\tan 11^\circ }} - \frac{1}{{\tan 15^\circ }}}} \approx 39,65\].

Khi đó \[CD = CH + DH \approx 1,5 + 39,65 \approx 41,15\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].

Vậy chiều cao cột cờ Hà Nội khoảng \[41,15\] m.