Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều có đáp án - Tự luận

a) \[2\sqrt {50} - 3\sqrt {72} + 5\sqrt {32} \]

\[ = 10\sqrt 2 - 18\sqrt 2 + 20\sqrt 2 \]

\[ = 12\sqrt 2 \].

b) \(\sqrt 2 + \sqrt {162} - \sqrt {200} + 2\sqrt {98} \)

\( = \sqrt 2 + 9\sqrt 2 - 10\sqrt 2 + 14\sqrt 2 \)

\( = 14\sqrt 2 \).

c) \(\sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } \)

\( = \left| {3 - \sqrt 3 } \right| + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} \)

\( = 3 - \sqrt 3 + \left| {\sqrt 3 + 1} \right|\)

\( = 3 - \sqrt 3 + \sqrt 3 + 1 = 4\).

d) \[\frac{1}{3}\sqrt {72} - 3\sqrt {50} - \frac{{\sqrt {66} }}{{\sqrt {33} }}\]

\[ = \frac{1}{3}.6\sqrt 2 - 3.5\sqrt 2 - \sqrt 2 \]

\[ = 2\sqrt 2 - 15\sqrt 2 - \sqrt 2 \]

\[ = - 14\sqrt 2 \].

e) \[\left( {3 - \frac{{5 + \sqrt {15} }}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}} \right)\left( {3 + \frac{{5 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 - 1}}} \right)\]

\[\left[ {3 - \frac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}} \right]\left[ {3 + \frac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{{\sqrt 5 - 1}}} \right]\]

\[ = \left( {3 - \sqrt 5 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\]

\[ = {\left( 3 \right)^2} - {\left( {\sqrt 5 } \right)^2}\]

\[ = 9 - 5 = 4\].

f) \(\frac{{5 + \sqrt {10} }}{{\sqrt 5 + \sqrt 2 }} + \frac{4}{{1 - \sqrt 5 }}\)

      \( = \frac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 5 + \sqrt 2 }} + \frac{{4\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}}\)

      \( = \sqrt 5 + \frac{{4\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}}{{1 - 5}}\)

      \( = \sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\)

      \( = \sqrt 5 - 1 - \sqrt 5 = - 1\).

a) \[\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 4\\2x - y = 11.\end{array} \right.\]

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

\(5x = 15\) nên \(x = 3.\)

Thay \(x = 3\) vào phương trình \(3x + y = 4,\) ta được:

\(3 \cdot 3 + y = 4,\) hay \(9 + y = 4,\) suy ra \(y = - 5.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {3; - 5} \right)\).

b) \[\left\{ \begin{array}{l}5x + 4y = 1\\3x - 2y = 5.\end{array} \right.\]

Từ phương trình thứ nhất ta có \[4y = 1 - 5x\] hay \[y = \frac{1}{4} - \frac{5}{4}x\].

Thế vào phương trình thứ hai, ta được

\[3x - 2\left( {\frac{1}{4} - \frac{5}{4}x} \right) = 5\], tức là \[\frac{{11}}{2}x - \frac{1}{2} = 4\], suy ra \[\frac{{11}}{2}x = \frac{{11}}{2}\] hay \[x = 1\].

Từ đó \[y = \frac{1}{4} - \frac{5}{4}.1 = - 1.\]

Do đó, hệ phương trình đã cho có nghiệm là \[\left( {1\,;\,\, - 1} \right).\]

c) \[\left\{ \begin{array}{l}4x + y = 51\\3x + 2y = 47\end{array} \right.\]

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 2, ta được: \[\left\{ \begin{array}{l}8x + 2y = 102\\3x + 2y = 47\end{array} \right.\].

Trừ từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được: \(5x = 55\), suy ra \(x = 11\).

Thay \(x = 11\) vào phương trình \[4x + y = 51\], ta được:

\[4 \cdot 11 + y = 51\] suy ra \(y = 7\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {11;\,\,7} \right).\)

d) \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y = 8\\2x - 3y = 0.\end{array} \right.\]

Từ phương trình thứ nhất ta có \[2x + 5y = 8\] suy ra \(x = 4 - \frac{5}{2}y\). Thế vào phương trình thứ hai, ta được:

\[2\left( {4 - \frac{5}{2}y} \right) - 3y = 0\], tức là \[8 - 8y = 0\], suy ra \[8y = 8\] hay \[y = 1\].

Từ đó \[x = 4 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2}.\]

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \[\left( {\frac{3}{2}\,;\,\,1} \right).\]

e) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{x} - \frac{3}{y} = 7\\\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 4\end{array} \right.\) (Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0)\)

Đặt \(\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b\), khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: \[\left\{ \begin{array}{l}2a - 3b = 7\\3a + 2b = 4.\end{array} \right.\]

Từ phương trình thứ nhất ta có \[2a - 3b = 7\] suy ra \[a = \frac{7}{2} + \frac{3}{2}b\]. Thế vào phương trình thứ hai, ta được:

\[3\left( {\frac{7}{2} + \frac{3}{2}b} \right) + 2b = 4\], tức là \[\frac{{21}}{2} + \frac{{13}}{2}b = 4\], suy ra \[\frac{{13}}{2}b = - \frac{{13}}{2}\] hay \[b = - 1\].

Từ đó \[a = \frac{7}{2} + \frac{3}{2} \cdot \left( { - 1} \right) = 2.\]

– Với \(a = 2\) ta có \(\frac{1}{x} = 2,\) suy ra \(x = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn điều kiện);

– Với \(b = - 1\) ta có \(\frac{1}{y} = - 1,\) suy ra \(y = - 1\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{1}{2};\,\, - 1} \right)\).

f) \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 4\\\frac{3}{x} - \frac{2}{y} = 4\end{array} \right.\] (Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0).\)

Đặt \(\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b\), khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}a + 2b = 4\\3a - 2b = 4.\end{array} \right.\)

Thực hiện cộng theo vế hai phương trình ta được \(4a = 8\), suy ra \(a = 2.\)

Thay \(a = 2\) vào phương trình thứ nhất ta được: \(2 + 2b = 4\) hay \(2b = 2\), suy ra \(b = 1\).

– Với \(a = 2\) ta có \(\frac{1}{x} = 2,\) suy ra \(x = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn điều kiện);

– Với \(b = 1\) ta có \(\frac{1}{y} = 1,\) suy ra \(y = 1\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{1}{2};\,\,1} \right)\).

a) Thay \(x = 49\) (TMĐK) vào biểu thức \(B\), ta được:
\(B = \frac{{\sqrt {49} + 2}}{{\sqrt {49} - 5}} = \frac{{7 + 2}}{{7 - 5}} = \frac{9}{4}\).

Vậy với \(x = 49\), ta có \(B = \frac{9}{4}\).

b) Với \(x \ge 0, x \ne 25\), ta có:

\[A = \frac{{20 - 2\sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{3}{{\sqrt x + 5}}\]

\[ = \frac{{20 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}} + \frac{3}{{\sqrt x + 5}}\]

\[ = \frac{{20 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}} + \frac{{3\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}\]

\[ = \frac{{20 - 2\sqrt x  + 3\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}\]

\[ = \frac{{20 - 2\sqrt x + 3\sqrt x - 15}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}\]

\[ = \frac{{5 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}\]\[ = \frac{1}{{\sqrt x - 5}}.\]

Vậy với \(x \ge 0, x \ne 25\), ta có \[A = \frac{1}{{\sqrt x - 5}}\].

c) Ta có \[A = \frac{1}{{\sqrt x - 5}}\]; \(B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 5}}\) nên \(\frac{B}{A} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 5}}:\frac{1}{{\sqrt x - 5}} = \sqrt x + 2\).

Theo đề bài \(\frac{B}{A} = \left| {x - 4} \right|\) nên \(\sqrt x + 2 = \left| {x - 4} \right|\).

Kết hợp với điều kiện \(x \ge 0, x \ne 25\), ta có \(x = 1\,;\,\,x = 9\) (thoả mãn điều kiện).

Vậy với \(x = 1\,;\,\,x = 9\) thì \(\frac{B}{A} = \left| {x - 4} \right|\).

a) Thay \(x = 196\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)\) vào biểu thức \(B\) ta được:

\[B = \frac{{4 \cdot \left( {\sqrt {196} + 2} \right)}}{{\sqrt {196} - 2}} = \frac{{4 \cdot \left( {14 + 2} \right)}}{{14 - 2}} = \frac{{4 \cdot 16}}{{12}} = \frac{{16}}{3}\].

Vậy với \(x = 196\) thì giá trị của biểu thức \[B = \frac{{16}}{3}\].

b) \(A = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{4x}}{{x - 4}}\)                             ĐKXĐ: \(x \ge 0, x \ne 4\)

\[ = \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{4x}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{x + 4\sqrt x + 4 - x + 4\sqrt x - 4 + 4x}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{4\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\]

\[ = \frac{{4x + 8\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\].

Vậy với \(x \ge 0, x \ne 4\) thì \[A = \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\].

c) Với \(x \ge 0, x \ne 4,\) ta có

\(P = A:B\)\[ = \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}}\]\[ = \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} \cdot \frac{{\sqrt x - 2}}{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\].

Với \(x \ge 0, x \ne 4\) thì \[\sqrt P \] luôn có nghĩa.

Xét hiệu: \[P - 1 = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - 1 = \frac{{\sqrt x - \sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{ - 2}}{{\sqrt x + 2}}\].

Ta thấy: \[ - 2 < 0\]; \[\sqrt x + 2 > 0\] với \(x \ge 0, x \ne 4\).

Khi đó \[\frac{{ - 2}}{{\sqrt x + 2}} < 0\] suy ra \[P - 1 < 0\] nên \[P < 1\] hay \[\sqrt P < 1\], do đó \[\sqrt P - 1 < 0\].

Mà \[\sqrt P \ge 0\] nên \[\sqrt P \left( {\sqrt P - 1} \right) \le 0\] suy ra \[P - \sqrt P \le 0\] hay \[P \le \sqrt P \].

Vậy với \(x \ge 0\,, \,x \ne 4\) thì \[P \le \sqrt P \].

a) Thay \(x = 4\) (TMĐK) vào biểu thức B ta được

\(B = \frac{{\sqrt 4 + 1}}{{4 + \sqrt 4 + 1}} = \frac{{2 + 1}}{{4 + 2 + 1}} = \frac{3}{7}\).

Vậy \(B = \frac{3}{7}\) khi \(x = 4\).

b) \(P = A:B\)\( = \left[ {\frac{{\sqrt x }}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right]:\frac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}}\)

\( = \left[ {\frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}} \right].\frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}\)

\( = \frac{{x + 2\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}\)

\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}\)\( = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\).

Vậy P = \(\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\).

c) Ta có P = \(\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x - 1 + 2}}{{\sqrt x - 1}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}}\)

Để P nguyên thì \(\sqrt x - 1\, \in \,U\left( 2 \right) = \left\{ {1; - 1;2; - 2} \right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy \(x \in \left\{ {0;4;9} \right\}\).