Trên bản đồ quy hoạch của một khu vui chơi, có ba điểm đặt trạm dịch vụ là P, Q và R (như hình vẽ). Ban quản lý khu vui chơi muốn xây dựng một tháp quan sát sao cho vị trí của tháp quan sát này cách đều ba trạm dịch vụ P, Q và R. Hãy xác định vị trí xây dựng tháp quan sát đó.

a) Xét \[\Delta ADB\] và \[\Delta EDC\] có:

\[DA = DE\] (gt);

\(\widehat {ADB} = \widehat {EDC}\) (đối đỉnh);

\(BD = CD\) (vì \(AD\) là đường trung tuyến \(\Delta ABC\)).

Do đó \[\Delta ADB = \Delta EDC\] (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {DEC}\) (hai cạnh tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \[AB\,{\rm{//}}\,EC.\]

b) Xét \[\Delta ADM\] và \[\Delta EDN\] có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {DEC}\) (cmt);

\(AD = DE\) (vì \[\Delta ADB = \Delta EDC\]);

\(\widehat {ADM} = \widehat {EDN}\) (đối đỉnh)

Do đó \[\Delta ADM = \Delta EDN\] (g.c.g)

Suy ra \[MD = DN\] (hai cạnh tương ứng)

Do đó D là trung điểm MN.

c) Gọi \[G\] là giao điểm của \[AD\] và \[BK\].

Xét \(\Delta ABC\) có \[AD\] và \[BK\] là hai đường trung tuyến cắt nhau tại \[G\].

Suy ra \[G\] là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(AG = \frac{2}{3}AD.\)

Xét \(\Delta AMN\) có D là trung điểm MN (câu b).

Suy ra \[AD\] là đường trung tuyến \(\Delta AMN.\)

Mà \(AG = \frac{2}{3}AD\) nên \[G\] là trọng tâm \(\Delta AMN.\)

Vì \(MH\) là đường trung tuyến \(\Delta AMN\) nên \(G \in MH\).

Do đó ba đường thẳng AD, BK và MH đồng quy.

1) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}\) nên \(\frac{{2x}}{4} = \frac{y}{3} = \frac{{3z}}{{15}} = \frac{{2x - y + 3z}}{{4 - 3 + 15}} = \frac{{ - 48}}{{16}} = - 3.\)

Suy ra \(2x = - 12\,;\,\,y = - 9\,;\,\,3z = - 45.\)

Do đó \(x = - 6\,;\,\,y = - 9\,;\,\,z = - 15.\)

2) Gọi \[a,\,\,b,\,\,c\] (xe) lần lượt là số xe của đội thứ nhất, thứ hai và thứ ba \[\left( {a,\,\,b,\,\,c \in {\mathbb{N}^ * }} \right).\]

Vì số xe và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên \[4a = 6b = 8c\] và \[a--b = 6.\]

\(\frac{{4a}}{{24}} = \frac{{6b}}{{24}} = \frac{{8c}}{{24}}\) nên \(\frac{a}{6} = \frac{b}{4} = \frac{c}{3}.\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{a}{6} = \frac{b}{4} = \frac{c}{3} = \frac{{a - b}}{{6 - 4}} = \frac{6}{2} = 3.\)

Suy ra \[a = 18\,;\,\,b = 12\,;\,\,c = 9\] (TMĐK)

Vậy đội thứ nhất có 18 xe, đội thứ hai có 12 xe và đội thứ ba có 9 xe.