Cho \(\Delta ABC\), trung tuyến \[AD.\] Trên tia đối của tia \[DA\] lấy điểm \[E\] sao cho \[DA = DE.\]

(a) Chứng minh \[\Delta ADB = \Delta EDC\] và \[AB\,{\rm{//}}\,EC.\]

(b) \[M\] là trung điểm AB, đường thẳng MD cắt CE tại N. Chứng minh D là trung điểm MN.

(c) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AN và AC. Chứng minh ba đường thẳng AD, BK và MH đồng quy.

Trên bản đồ quy hoạch của một khu vui chơi, có ba điểm đặt trạm dịch vụ là P, Q và R (như hình vẽ). Ban quản lý khu vui chơi muốn xây dựng một tháp quan sát sao cho vị trí của tháp quan sát này cách đều ba trạm dịch vụ P, Q và R. Hãy xác định vị trí xây dựng tháp quan sát đó.

1) Tìm ba số \(x,\,\,y,\,\,z\) biết \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}\) và \(2x - y + 3z = - 48.\)

2) Ba đội xe vận chuyển cùng một khối lượng hàng hóa đến ba trạm giao hàng. Đội thứ nhất hoàn thành việc vận chuyển trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày, đội thứ ba trong 8 ngày. Biết rằng đội thứ nhất có nhiều hơn đội thứ hai 6 xe và năng suất của mỗi xe là như nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu xe?

Cho các đa thức:

\[P\left( x \right) = - 4{x^4} + 2x - 1 + 2{x^4} + 3{x^3} + 2 - x\]

\[N\left( x \right) = 2{x^3} + {x^2} - 5\]

\[M\left( x \right) = {x^2} - 4\]

1) Thu gọn đa thức \[P\left( x \right)\], sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến. Xác định hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức \[P\left( x \right).\]

2) Tính \[N\left( x \right) - M\left( x \right).\]

3) Tính \[N\left( x \right) \cdot M\left( x \right).\]

4) Tìm nghiệm của đa thức \[M\left( x \right).\]

Cho đa thức \[M\left( x \right) = ax + b.\] Tìm các hệ số a, b biết \[M\left( 0 \right) = 1,\,\,M\left( x \right)\] chia cho \[x-1\] dư 2.

Một người đi bộ trong x (giờ) với vận tốc 4 (km/h) và sau đó đi bằng xe đạp trong y (giờ) với vận tốc 18 (km/h). Biểu thức đại số biểu thị tổng quãng đường đi được của người đó là

Cho \(\Delta ABC\), điểm I cách đều ba cạnh của \(\Delta ABC\). Khi đó, I là giao điểm của