Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lợi nhuận 40 000 đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần 3 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lợi nhuận 30 000 đồng. Xưởng có 160 kg nguyên liệu và tối đa 1 200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu kg để có mức lợi nhuận cao nhất ?

Gọi \(x\) (kg) là sản phẩm loại I mà xưởng sản xuất được (\(x \ge 0\)).

Gọi \(y\) (kg) là sản phẩm loại II mà xưởng sản xuất được (\(y \ge 0\)).

Số nguyên liệu mà xưởng dùng để sản xuất hai loại sản phẩm là:

\(2x + 3y\) (kg).

Thời gian mà xưởng cần để sản xuấ hai loại sản phẩm là:

\(30x + 15y\) (giờ).

Vì số nguyên liệu là 160 kg nên ta có bất phương trình \(2x + 3y \le 160\,\,\left( {{\rm{kg}}} \right)\)

Thời gian tối đa để sản xuất là 1 200 giờ nên ta có bất phương trình \(30x + 15y \le 1200 \Leftrightarrow 6x + 3y \le 240\).

Vậy \(x,\,y\) thỏa hệ bất phương trình  \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + 3y \le 160\\6x + 3y \le 240\end{array} \right.\).

Có biểu diễn miền nghiệm là tứ giác \(OABC\) như hình vẽ (kể cả cạnh của nó).

Lợi nhuận thu được là \(F = 40x + 30y\,\,\)nghìn đồng.

\(F\left( {0;\,0} \right) = 0\)

\(F\left( {0;\frac{{160}}{3}} \right) = 1600\)

\(F\left( {40;0} \right) = 1600\)

\(F\left( {20;40} \right) = 2000\)

Vậy để lợi nhuận cao nhất thì xưởng phải sản xuất 20 (kg) sản phẩm loại I và 40 (kg) sản phẩm loại II.