Tìm tất cả các giá trị nguyên của \[m\] để phương trình \[\sin 2x + \cos 2x = m\sqrt 2 \] có nghiệm.

Lời giải

Do \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\)

Có \(f\left( 1 \right) = a + b + c;\,f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{9}a + \frac{1}{3}b + c \Rightarrow f\left( 1 \right) + 9f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 2\left( {a + 2b + 5c} \right) = 0\)

\( \Rightarrow f\left( 1 \right)\) và \(f\left( {\frac{1}{3}} \right)\) trái dấu hoặc \(f\left( 1 \right) = f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 0\).

Nếu \(f\left( 1 \right) = f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 0\) thì phương trình có 2 nghiệm \(x = 1;x = \frac{1}{3}\).

Nếu \(f\left( 1 \right)\) và \(f\left( {\frac{1}{3}} \right)\) trái dấu tức là \(f\left( 1 \right).f\left( {\frac{1}{3}} \right) < 0\) thì phương trình có ít nhất 1 nghiệm trong

khoảng \(\left( {\frac{1}{3};1} \right)\).

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm thực.

Lời giải

Số phần tử của mẫu là \(n = 40\).

Gọi \[{x_1},{x_2}...,{x_{40}}\]là cân nặng của \(40\) học sinh được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là     \[\frac{{{x_{20}} + {x_{21}}}}{2}\]. Khi đó nhóm chứa trung vị là nhóm \(3\): \(\left[ {50;60} \right)\).

Ta có \[p = 3;{a_3} = 50;{m_3} = 16;{m_1} + {m_2} = 12;{a_4} - {a_3} = 10\].

Áp dụng công thức tính trung vị ta có \({Q_2} = {M_e} = 50 + \left( {\frac{{20 - 12}}{{16}}} \right) \cdot 10 = 55\left( {{\rm{\;kg}}} \right).\)

Tứ phân vị thứ nhất \[{Q_1}\] là \[\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}\]. Khi đó nhóm chứa \[{Q_1}\] là nhóm \(2\):\(\left[ {40;50} \right)\)

Ta có \[p = 2;{a_2} = 40;{m_2} = 10;{m_1} = 2;{a_3} - {a_2} = 10\].

Áp dụng công thức tính \[{Q_1}\] ta có \({Q_1} = 40 + \left( {\frac{{10 - 2}}{{10}}} \right) \cdot 10 = 48\left( {{\rm{\;kg}}} \right).\)

Tứ phân vị thứ ba \[{Q_3}\] là \[\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}\]. Khi đó nhóm chứa \[{Q_3}\] là nhóm \(4\):\(\left[ {60;70} \right)\)

Ta có \[p = 4;{a_4} = 40;{m_4} = 8;{m_1} + {m_2} + {m_3} = 28;{a_5} - {a_4} = 10\].

Áp dụng công thức tính \[{Q_3}\] ta có \({Q_3} = 60 + \left( {\frac{{30 - 28}}{8}} \right).10 = 62,5\left( {{\rm{kg}}} \right).\)

 Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:\({Q_1} = 48\left( {{\rm{kg}}} \right);{Q_2} = 55\left( {{\rm{kg}}} \right);{Q_3} = 62,5\left( {{\rm{kg}}} \right)\).