Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi \[56\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\] Nếu tăng chiều dài \[4\,\,{\rm{m}}\] và giảm chiều rộng \[2\,\,{\rm{m}}\] thì diện tích tăng \[8\,\,{{\rm{m}}^2}.\] Tìm chiều dài của hình chữ nhật.

a) Xét \[\Delta OAB\] và \[\Delta MEB\] có: \(\widehat {AOB} = \widehat {EMB} = 90^\circ \); \(\widehat {OBA}\) chung.

Do đó  (g.g).

b) Xét \[\Delta AMN\] và \[\Delta AOB\] có: \(\widehat {AMN} = \widehat {AOB} = 90^\circ \); \(\widehat {MAN}\) chung.

Do đó  (g.g).

Suy ra \(\frac{{AM}}{{AO}} = \frac{{AN}}{{AB}}\), do đó \[AN \cdot AO = AM \cdot AB\].

c) Vì \(\frac{{AM}}{{AO}} = \frac{{AN}}{{AB}}\) (cmt) nên \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AO}}{{AB}}\).

Xét \[\Delta AOM\] và \[\Delta ABN\] có: \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AO}}{{AB}}\); \(\widehat {MAN}\) chung.

Do đó  (c.g.c).

Suy ra \[\widehat {AOM} = \widehat {ABN}\] (hai góc tương ứng).

Xét \(\Delta EBA\) có \[AO,\,\,EM\] là đường cao (vì \(AO \bot BE;\,\,EM \bot AB)\)

Suy ra \(N\) là trực tâm của \(\Delta EBA\) nên \(BF \bot AE\) hay \(\widehat {AFN} = 90^\circ \).

Xét \[\Delta AFN\] và \[\Delta AOE\] có: \(\widehat {AFN} = \widehat {AOE} = 90^\circ \); \(\widehat {NAF}\) chung.

Do đó  (g.g).

Suy ra \(\frac{{AF}}{{AN}} = \frac{{AO}}{{AE}}\) nên \(\frac{{AF}}{{AO}} = \frac{{AN}}{{AE}}\).

Xét \[\Delta AOF\] và \[\Delta AEN\] có: \(\frac{{AF}}{{AO}} = \frac{{AN}}{{AE}}\); \(\widehat {NAF}\) chung.

Do đó  (c.g.c).

Suy ra \[\widehat {AOF} = \widehat {AEN}\] (hai góc tương ứng).

Mà \[\widehat {AEN} = \widehat {ABF}\] (cùng phụ \(\widehat {BAF}\,)\)và \[\widehat {AOM} = \widehat {ABF}\] (cmt).

Suy ra \[\widehat {AOM} = \widehat {AOF}\].

Vậy \[OA\] là tia phân giác \(\widehat {FOM}\).