(1,5 điểm)
Cho hai biểu thức \(A = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\sqrt x }}\) và \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{4\sqrt x }}{{4 - x}}\] với \(x > 0\); \(x \ne 4\).
1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 16\)
2) Rút gọn biểu thức \(B\).
3) Cho \(P = A.B\). Tìm các số tự nhiên \(x\) để \[P \le 3\].
(1,5 điểm)
Cho hai biểu thức \(A = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\sqrt x }}\) và \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{4\sqrt x }}{{4 - x}}\] với \(x > 0\); \(x \ne 4\).
1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 16\)
2) Rút gọn biểu thức \(B\).
3) Cho \(P = A.B\). Tìm các số tự nhiên \(x\) để \[P \le 3\].
Câu hỏi trong đề: Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 Hà Nội !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1) Thay \(x = 16\) vào biểu thức \(A\), ta được:
\(A = \frac{{16 + 3\sqrt {16} }}{{\sqrt {16} }} = 7\)
Vậy \(A = 7\) khi \(x = 16\).
2) Với \(x > 0\); \(x \ne 4\), ta có:
\[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{4\sqrt x }}{{4 - x}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{x - 2\sqrt x + 4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\]
Vậy với \(x > 0\); \(x \ne 4\) thì \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\].
3) Ta có: \(P = A.B = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\)
Để \[P \le 3\] thì \(\frac{{x + 3\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} \le 3\)
\(\frac{{x + 3\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - 3 \le 0\)
\(\frac{{x + 3\sqrt x - 3\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 2}} \le 0\)
\(\frac{{x + 6}}{{\sqrt x - 2}} \le 0\)
TH1: \(\frac{{x + 6}}{{\sqrt x - 2}} = 0\) thì \(x + 6 = 0\) nên \(x = - 6\) (không thỏa mãn)
TH2: \(\frac{{x + 6}}{{\sqrt x - 2}} < 0\)
Mà \(x > 0\);\(x \ne 4\) nên \(x + 6 > 0\) suy ra \(\sqrt x - 2 < 0\)
Do đó \(\sqrt x < 2\) nên \(x < 4\)
Kết hợp ĐK: \(x > 0\);\(x \ne 4\) suy ra \(0 < x < 4\).
Vậy để \[P \le 3\] thì \(0 < x < 4\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
Vào phòng luyện đề →Luyện đề →CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
1) Gọi giá tiền của mỗi chiếc áo bạn Bình đã mua là \(x\) (nghìn đồng, \(x > 0\))
Số áo bạn Bình đã mua được là: \(\frac{{600}}{x}\) (chiếc)
Giá tiền của mỗi chiếc áo dự định bạn Bình mua là \(x + 30\) (đồng)
Số áo bạn Bình dự định mua là: \(\frac{{600}}{{x + 30}}\) (chiếc)
Theo bài ra, bạn Bình đã mua được số lượng áo gấp \(1,25\) lần so với số lượng dự định nên ta có phương trình: \(\frac{{600}}{x} = 1,25.\frac{{600}}{{x + 30}}\)
\(\frac{{600}}{x} = \frac{{750}}{{x + 30}}\)
\(750x = 600\left( {x + 30} \right)\)
\(750x = 600x + 18000\)
\(150x = 18000\)
\(x = 120\) (TMĐK)
Vậy giá tiền của mỗi chiếc áo bạn Bình đã mua là \(120\) nghìn đồng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(x\) và \(3y\) ta có: \(x + 3y \ge 2\sqrt {x.3y} = 2\sqrt 3 .\sqrt {xy} \)
Suy ra: \(2\sqrt 3 .\sqrt {xy} \le 6\) nên \(\sqrt {xy} \le \sqrt 3 \) suy ra \(xy \le 3\).
Ta có: \(A = \frac{{{x^2}{y^2} + 2025}}{{xy}} = xy + \frac{{2025}}{{xy}} = xy + \frac{9}{{xy}} + \frac{{2016}}{{xy}}\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(xy\) và \(\frac{9}{{xy}}\) ta có:
\(xy + \frac{9}{{xy}} \ge 2\sqrt {xy.\frac{9}{{xy}}} = 6\). Dấu “=” xảy ra khi \(xy = \frac{9}{{xy}} \Rightarrow xy = 3\).
Ta có: \(xy \le 3\) nên \(\frac{{2016}}{{xy}} \ge 672\). Dấu “=” xảy ra khi \(xy = 3\).
Từ đó suy ra: \(xy + \frac{9}{{xy}} + \frac{{2016}}{{xy}} \ge 3 + 672 = 675\) hay \(A \ge 675\).
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}xy = 3\\{\rm{x}} + 3y = 6\end{array} \right.\). Giải tìm được \(x = 3;y = 1\) (TMĐK).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) là \(675\) đạt được khi \(x = 3;y = 1\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập