(1,5 điểm)

Cho hai biểu thức \(A = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\sqrt x }}\)  và \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{4\sqrt x }}{{4 - x}}\] với \(x > 0\); \(x \ne 4\).

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 16\)

2) Rút gọn biểu thức \(B\).

3) Cho \(P = A.B\). Tìm các số tự nhiên \(x\) để \[P \le 3\].

1) Thay \(x = 16\) vào biểu thức \(A\), ta được:

\(A = \frac{{16 + 3\sqrt {16} }}{{\sqrt {16} }} = 7\)

Vậy \(A = 7\) khi \(x = 16\).

2) Với \(x > 0\); \(x \ne 4\), ta có:

\[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{4\sqrt x }}{{4 - x}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} + \frac{{4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{x - 2\sqrt x  + 4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}.\]

Vậy với \(x > 0\); \(x \ne 4\) thì \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\].

3) Ta có: \(P = A.B = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\)

Để \[P \le 3\] thì \(\frac{{x + 3\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} \le 3\)

\(\frac{{x + 3\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} - 3 \le 0\)

\(\frac{{x + 3\sqrt x  - 3\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x  - 2}} \le 0\)

\(\frac{{x + 6}}{{\sqrt x  - 2}} \le 0\)

TH1: \(\frac{{x + 6}}{{\sqrt x  - 2}} = 0\) thì \(x + 6 = 0\) nên \(x =  - 6\) (không thỏa mãn)

TH2: \(\frac{{x + 6}}{{\sqrt x  - 2}} < 0\)

Mà \(x > 0\);\(x \ne 4\) nên \(x + 6 > 0\) suy ra \(\sqrt x  - 2 < 0\)

Do đó \(\sqrt x  < 2\) nên \(x < 4\)

Kết hợp ĐK: \(x > 0\);\(x \ne 4\) suy ra \(0 < x < 4\).

Vậy để \[P \le 3\] thì \(0 < x < 4\).