(1,5 điểm)

Thời gian đi từ nhà đến trường (đơn vị: phút) của 20 bạn học sinh được ghi lại ở bảng sau:

9	15	11	15	10	9	10	12	12	10
11	10	12	10	9	12	9	15	9	15

a) Từ bảng số liệu thống kê trên, em hãy cho biết thời gian đi từ nhà đến trường của các bạn học sinh nhận những giá trị nào và lập bảng tần số.

b) Từ bảng tần số, hãy cho biết trong 20 học sinh trên, có bao nhiêu học sinh dành thời gian đi đến trường nhiều hơn 10 phút?

Gọi \(x,y\) lần lượt là số kg táo và số kg cam mà bác Mai nhập \(\left( {x \in {\mathbb{N}^ * },\,y \in {\mathbb{N}^ * }} \right)\)

Theo đề bài ta có phương trình: \(x + y = 100\) \(\left( 1 \right)\)

Vì sau khi bán hết hai loại quả trên với giá \(50\,\,000\) đồng/kg táo và \(30\,\,000\) đồng/kg cam thì thu được số tiền là \(42\,\,000\,\,000\) đồng ta có phương trình: 

\(50\,\,000x + 30\,\,000y = 42\,\,000\,\,000\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\)ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\50\,\,000x + 30\,\,000y = 42\,\,000\,\,000\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\5x + 3y = 420\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 100 - y\\5\left( {100 - y} \right) + 3y = 420\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Từ \(\,\left( 3 \right)\) ta có: \(500 - 5y + 3y = 420\) hay \(2y = 80\) suy ra \(y = 40\) (TMĐK).

Khi đó \(x = 60\)(TMĐK)

Vậy bác Mai nhập \(60\,\,{\rm{kg}}\) táo và \(40\,\,{\rm{kg}}\) cam.

Gọi chiều rộng (và chiều sâu) của hầm là \(x\) (\(m\); \(x > 0\))

Gọi chiều dài của hầm là \(y\) (\(m\); \(y > 0\))

Thể tích của hầm là: \(V = x.x.y = 27\,\)\(\left( {{m^3}} \right)\).

Suy ra \(y = \frac{{27}}{{{x^2}}}\) \((m)\).

Biểu thức biểu thị diện tích toàn phần của hầm là:

\(2x \cdot x + 2x \cdot \frac{{27}}{{{x^2}}} + 2 \cdot x \cdot \frac{{27}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} = 2\left( {{x^2} + \frac{{54}}{x}} \right) = 2 \cdot A\).

Ta có: \(A + 9 = {x^2} + \frac{{27}}{x} + \frac{{27}}{x} + 9\)

\({\left( {\sqrt {{x^2}}  - \sqrt {\frac{{27}}{x}} } \right)^2} \ge 0\) nên \({x^2} + \frac{{27}}{x} \ge 2\sqrt {{x^2} \cdot \frac{{27}}{x}} \)

\[{\left( {\sqrt {\frac{{27}}{x}}  - \sqrt 9 } \right)^2} \ge 0\] nên \[\frac{{27}}{x} + 9 \ge 2\sqrt {\frac{{27}}{x} \cdot 9} \]

Suy ra \(A + 9 \ge 2\sqrt {{x^2} \cdot \frac{{27}}{x}}  + 2\sqrt {\frac{{27}}{x} \cdot 9} \)

\(A + 9 \ge 2\sqrt {27x}  + 2\sqrt {\frac{{27 \cdot 9}}{x}} \).

\(A + 9 \ge 4\sqrt {\sqrt {27x}  \cdot \sqrt {\frac{{27 \cdot 9}}{x}} }  = 4 \cdot 9\)

\(A + 9 \ge 36\)

\(A \ge 27\)

Đẳng thức xảy ra khi \({x^2} = \frac{{27}}{x} = 9\) nên \(x = 3\).

Vậy khi chiều rộng là \(3\,m\) và chiều dài là \(\frac{{27}}{{{3^2}}} = 3\,\,\left( m \right)\) thi công hầm sẽ tiết kiệm nguyên liệu nhất.