(2,5 điểm)

Bác Mai nhập tổng cộng \(100\) kg táo và cam về bán nhưng không nhớ rõ mỗi loại bao nhiêu kg. Biết rằng sau khi bán hết hai loại quả trên với giá \(50\,\,000\) đồng/kg táo và \(30\,\,000\) đồng/kg cam thì thu được số tiền là \(42\,\,000\,\,000\) đồng. Em hãy tính xem bác Mai đã nhập mỗi loại bao nhiêu kg?

Gọi số sản phẩm người công nhân phải làm trong một giờ theo kế hoạch là \(x\,\)(sản phẩm;\[x \in {\mathbb{N}^ * }\]).

Thời gian người công nhân hoàn thành \(60\) sản phẩm theo kế hoạch là \(\frac{{60}}{x}\) (giờ).

Số sản phẩm người công nhân phải làm trong một giờ thực tế là là \(x\, + 2\) (sản phẩm).

Tổng số sản phẩm người công nhân làm được thực tế là: \(60 + 3 = 63\) (sản phẩm).

Thời gian người công nhân làm thực tế là \(\frac{{63}}{{x + 2}}\) (giờ).

Đổi: \(30\) phút = \(\frac{1}{2}\)giờ.

Vì người công nhân đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định \(30\) phút nên ta có phương trình:

\(\frac{{60}}{x} - \frac{{63}}{{x + 2}} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{{60x + 120 - 63x}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{{120 - 3x}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\)

\({x^2} + 2x + 6x - 240 = 0\)

\({x^2} + 8x - 240 = 0\)

\(\left( {x - 12} \right)\left( {x + 20} \right) = 0\)

\(x = 12\) (TMĐK)

Vậy theo kế hoạch, mỗi giờ người đó phải làm \(12\) sản phẩm.

Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Giả sử \({x_1} = 1 - \sqrt 2 \)

Vì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = 1 - \sqrt 2 \) nên áp dụng hệ thức Vi-et ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} =  - m\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}1 - \sqrt 2  + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} =  - m\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 1 + \sqrt 2 \\\left( {1 - \sqrt 2 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right) =  - m\end{array} \right.\)

Suy ra \(m = 1\).

Ta có \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\)

\(x_1^2 + x_2^2 = 4 + 2 = 6\).

Vậy tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình \(6\).