Cho hai biểu thức \(A = \frac{{3\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}\) và \[B = \frac{{x + 12}}{{x - 4}} + \frac{4}{{\sqrt x  + 2}}\] với \(x \ge 0,\,x \ne 4\).

1) Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = 16\].

2) Chứng minh \[B = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}\].

3) Xét biểu thức \[P = A - B\]. Tìm tất cả các giá trị của \[x\] sao cho \[P \ge 0\].

Gọi \(x,y\) lần lượt là số kg táo và số kg cam mà bác Mai nhập \(\left( {x \in {\mathbb{N}^ * },\,y \in {\mathbb{N}^ * }} \right)\)

Theo đề bài ta có phương trình: \(x + y = 100\) \(\left( 1 \right)\)

Vì sau khi bán hết hai loại quả trên với giá \(50\,\,000\) đồng/kg táo và \(30\,\,000\) đồng/kg cam thì thu được số tiền là \(42\,\,000\,\,000\) đồng ta có phương trình: 

\(50\,\,000x + 30\,\,000y = 42\,\,000\,\,000\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\)ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\50\,\,000x + 30\,\,000y = 42\,\,000\,\,000\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\5x + 3y = 420\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 100 - y\\5\left( {100 - y} \right) + 3y = 420\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Từ \(\,\left( 3 \right)\) ta có: \(500 - 5y + 3y = 420\) hay \(2y = 80\) suy ra \(y = 40\) (TMĐK).

Khi đó \(x = 60\)(TMĐK)

Vậy bác Mai nhập \(60\,\,{\rm{kg}}\) táo và \(40\,\,{\rm{kg}}\) cam.

Gọi chiều rộng (và chiều sâu) của hầm là \(x\) (\(m\); \(x > 0\))

Gọi chiều dài của hầm là \(y\) (\(m\); \(y > 0\))

Thể tích của hầm là: \(V = x.x.y = 27\,\)\(\left( {{m^3}} \right)\).

Suy ra \(y = \frac{{27}}{{{x^2}}}\) \((m)\).

Biểu thức biểu thị diện tích toàn phần của hầm là:

\(2x \cdot x + 2x \cdot \frac{{27}}{{{x^2}}} + 2 \cdot x \cdot \frac{{27}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} = 2\left( {{x^2} + \frac{{54}}{x}} \right) = 2 \cdot A\).

Ta có: \(A + 9 = {x^2} + \frac{{27}}{x} + \frac{{27}}{x} + 9\)

\({\left( {\sqrt {{x^2}}  - \sqrt {\frac{{27}}{x}} } \right)^2} \ge 0\) nên \({x^2} + \frac{{27}}{x} \ge 2\sqrt {{x^2} \cdot \frac{{27}}{x}} \)

\[{\left( {\sqrt {\frac{{27}}{x}}  - \sqrt 9 } \right)^2} \ge 0\] nên \[\frac{{27}}{x} + 9 \ge 2\sqrt {\frac{{27}}{x} \cdot 9} \]

Suy ra \(A + 9 \ge 2\sqrt {{x^2} \cdot \frac{{27}}{x}}  + 2\sqrt {\frac{{27}}{x} \cdot 9} \)

\(A + 9 \ge 2\sqrt {27x}  + 2\sqrt {\frac{{27 \cdot 9}}{x}} \).

\(A + 9 \ge 4\sqrt {\sqrt {27x}  \cdot \sqrt {\frac{{27 \cdot 9}}{x}} }  = 4 \cdot 9\)

\(A + 9 \ge 36\)

\(A \ge 27\)

Đẳng thức xảy ra khi \({x^2} = \frac{{27}}{x} = 9\) nên \(x = 3\).

Vậy khi chiều rộng là \(3\,m\) và chiều dài là \(\frac{{27}}{{{3^2}}} = 3\,\,\left( m \right)\) thi công hầm sẽ tiết kiệm nguyên liệu nhất.