Cho hai biểu thức \(A = \frac{{3\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}\) và \[B = \frac{{x + 12}}{{x - 4}} + \frac{4}{{\sqrt x  + 2}}\] với \(x \ge 0,\,x \ne 4\).

1) Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = 16\].

2) Chứng minh \[B = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}\].

3) Xét biểu thức \[P = A - B\]. Tìm tất cả các giá trị của \[x\] sao cho \[P \ge 0\].

1) Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = 16\].

Thay \[x = 16\] (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \[A\], ta được:

\(A = \frac{{3\sqrt {16}  + 2}}{{\sqrt {16}  - 2}} = \frac{{12 + 2}}{{4 - 2}} = 7.\)

Vậy \(A = 7\) khi \[x = 16\].

2) Chứng minh \[B = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}\].

Rút gọn: \[B = \frac{{x + 12}}{{x - 4}} + \frac{4}{{\sqrt x  + 2}}\] với \(x \ge 0,\,x \ne 4\).

\[B = \frac{{x + 12}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} + \frac{{4\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{x + 12 + 4\sqrt x  - 8}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{x + 4\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}\] (đpcm).

Vậy với \(x \ge 0,\,x \ne 4\) thì \[B = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}.\]

3) Xét biểu thức \[P = A - B\]. Tìm tất cả các giá trị của \[x\] sao cho \[P \ge 0\].

Với \(x \ge 0,\,x \ne 4\). Ta có: \[P = A - B\]

\(P = \frac{{3\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}\)\( = \frac{{3\sqrt x  + 2 - \sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 2}}\)\( = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\).

• Xét \[P = 0\] thì \(\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} = 0\) nên \(2\sqrt x  = 0\) suy ra \(x = 0\) (thoả mãn)

• Xét \(P > 0\) thì \(\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} > 0\)

\(\left\{ \begin{array}{l}2\sqrt x  > 0\\\sqrt x  - 2 > 0\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}2\sqrt x  < 0\\\sqrt x  - 2 < 0\end{array} \right.\) (vô lí)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > 4\end{array} \right.\) do đó \(x > 4\) (thoả mãn)

Vậy \(x = 0\) hoặc \(x > 4\) thì \[P \ge 0\].