(3,5 điểm)

Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\)và \(B = \frac{{2x}}{{x - 9}} + \frac{{\sqrt x }}{{3 - \sqrt x }}\) với \(x \ge 0;x \ne 9\).

a) Tính giá trị của biểu thức \[A\] biết \[x = 4\];

b) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\);

c) Cho \(P = \frac{A}{B}\). Tìm tất cả các giá trị của \[x\] để \({P^3} - 27 = 0\).

a) Thay \[x = 4\] (TMĐK) vào biểu thức ta được: \(A = \frac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt 4  - 3}} = \frac{2}{{2 - 3}} =  - 2\).

Vậy \[x = 4\] thì \[A =  - 2\].

b) Ta có \(B = \frac{{2x}}{{x - 9}} + \frac{{\sqrt x }}{{3 - \sqrt x }}\) với \(x \ge 0;x \ne 9\)

\(B = \frac{{2x}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\)

\( = \frac{{2x}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{2x - x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)\( = \frac{{x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\).

c) Để \(P\) xác định thì \(B \ne 0\) suy ra \(\sqrt x  \ne 0\) nên \(x \ne 0\)

Kết hợp ĐKXĐ suy ra: \(x > 0;x \ne 9\).

Ta có : \(P = \frac{A}{B}\)\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\)\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}.\frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}}\)

Xét \({P^3} - 27 = 0\) nên \({P^3} = 27 = {3^3}\)

Suy ra: \(P = 3\)

\(\frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}} = 3\)

\[3\left( {\sqrt x  - 3} \right) = \sqrt x  + 3\]

\[3\sqrt x  - 9 = \sqrt x  + 3\]

\[2\sqrt x  = 12\]

\[\sqrt x  = 6\]

\(x = 36\) (thoả mãn ĐKXĐ)

Vậy \(x = 36\) thì \({P^3} - 27 = 0\).