Cho các biểu thức: \[A = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  + 1}}\] và \[B = \left( {\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 4}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 4}} - \frac{x}{{x - 16}}} \right)\left( {1 - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}} \right)\] với \[x \ge 0\], \[x \ne 16\].

a) Tính giá trị của biểu thức A khi \[x = \frac{9}{{16}}\].

b) Chứng minh \[B = \frac{2}{{\sqrt x  + 4}}\].

c) Đặt \(P = A.B\), với \(x > 0\), \[x \ne 16\] chứng minh \(\frac{{{P^2}}}{4}\) không có giá trị là số nguyên.

a) Thay \[x = \frac{9}{{16}}\] (thỏa mãn) vào \(A\) ta có:

\(A = \frac{{\sqrt {\frac{9}{{16}}}  + 4}}{{\sqrt {\frac{9}{{16}}}  + 1}} = \frac{{\frac{3}{4} + 4}}{{\frac{3}{4} + 1}} = \frac{{19}}{4}:\frac{7}{4} = \frac{{19}}{7}\)

Vậy \[x = \frac{9}{{16}}\] thì \(A = \frac{{19}}{7}\).

b) \[B = \left( {\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 4}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 4}} - \frac{x}{{x - 16}}} \right)\left( {1 - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}} \right)\]

\[ = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 4} \right)\left( {\sqrt x  + 4} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 4} \right)\left( {\sqrt x  + 4} \right)}} - \frac{x}{{\left( {\sqrt x  - 4} \right)\left( {\sqrt x  + 4} \right)}}} \right]\left( {\frac{{\sqrt x  + 2 - \sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}} \right)\]

\[ = \frac{{x + 4\sqrt x  - 2\sqrt x  - 8 + x - 4\sqrt x  - x}}{{\left( {\sqrt x  - 4} \right)\left( {\sqrt x  + 4} \right)}}.\frac{2}{{\sqrt x  + 2}}\]

\[ = \frac{{x - 2\sqrt x  - 8}}{{\left( {\sqrt x  - 4} \right)\left( {\sqrt x  + 4} \right)}}.\frac{2}{{\sqrt x  + 2}}\]

\[ = \frac{{x - 4\sqrt x  + 2\sqrt x  - 8}}{{\left( {\sqrt x  - 4} \right)\left( {\sqrt x  + 4} \right)}}.\frac{2}{{\sqrt x  + 2}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 4} \right) + 2\left( {\sqrt x  - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 4} \right)\left( {\sqrt x  + 4} \right)}}.\frac{2}{{\sqrt x  + 2}}\]

\[ = \frac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 4} \right)\left( {\sqrt x  + 4} \right)}}.\frac{2}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{2}{{\sqrt x  + 4}}\].

c) \(P = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  + 1}}.\frac{2}{{\sqrt x  + 4}} = \frac{2}{{\sqrt x  + 1}}\)

Khi đó \(\frac{{{p^2}}}{4} = \frac{1}{4}.{\left( {\frac{2}{{\sqrt x  + 1}}} \right)^2} = \frac{1}{4}.\frac{4}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}\)

Vì \(x > 0\) nên \(\sqrt x  + 1 > 1\) Suy ra \({\left( {\sqrt x  + 1} \right)^2} > 1\)

Do đó \(0 < \frac{1}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}} < 1\)

Vậy \(\frac{{{P^2}}}{4}\) không có giá trị là số nguyên.