(1,5 điểm). Cho hai biểu thức \(A = \frac{4}{{\sqrt x  - 1}}\) và \(B = \frac{2}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{2\sqrt x  - 6}}{{1 - x}}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\)

1) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 25\).

2) Chứng minh \(B = \frac{4}{{\sqrt x  + 1}}\).

3) Đặt \(H = A:B\). So sánh \(H\) và \({H^2}\).

a) Ta có bán kính đáy hình trụ là \[R = 6:2 = 3\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\]

Khi đó thể tích nước trọng ly là \[V = \pi .{R^2}.h = {3,14.3^2}.15 = 423,9\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\]

b) Mỗi quả cầu có bán kính \[r = 1\,{\rm{cm}}\]. Khi đó thể tích \[5\] quả cầu là:

\[V' = 5.\frac{4}{3}.\pi .{r^3} = 5.\frac{4}{3}{.3,14.1^3} \approx 20,9\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\]

Vậy thể tích nước còn lại trong ly là: \[V - V' = 423,9 - 20,9 = 403\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\].

Gọi số lần giảm giá chụp \(20\) nghìn đồng là \(x\) (lần) \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Giá chụp sau khi giảm \(x\) lần là \(800 - 20x\) (nghìn đồng)

Số lượng HS đăng ký sau khi giảm giá \(x\) lần là \(40 + 4x\) (HS)

Tổng số tiền thu được sau khi giảm giá \(x\) lần là \(\left( {800 - 20x} \right)\left( {40 + 4x} \right)\) (nghìn đồng)

Ta có \(\left( {800 - 20x} \right)\left( {40 + 4x} \right)\)\( = 32\,\,000 + 2\,\,400x - 80{x^2}\)

\( =  - 80\left( {{x^2} - 30x - 400} \right)\)\( =  - 80\left( {{x^2} - 2.x.15 + {{15}^2} - {{15}^2} - 400} \right)\)

\( =  - 80{\left( {x - 15} \right)^2} + 500\,000\).

Mà \({\left( {x - 15} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{N}*\) nên \( \Rightarrow  - 80{\left( {x - 15} \right)^2} + 500\,000 \le 500\,000\).

Dấu \('' = ''\) xảy ra khi và chỉ khi \(x = 15\)

Do đó, giá chụp ảnh để doanh thu từ tiền bán chụp ảnh lớn nhất là \(800 - 20.15 = 500\) nghìn đồng.

Doanh thu lớn nhất là \(\left( {800 - 20.15} \right)\left( {40 + 4.15} \right)\)\( = 50\,000\) nghìn đồng.

Vậy nhóm chụp ảnh sẽ đưa mức thu mỗi học sinh là 500 nghìn đồng để có doanh thu lớn nhất là 50 triệu đồng.