(1,5 điểm). Cho hai biểu thức \(A = \frac{4}{{\sqrt x  - 1}}\) và \(B = \frac{2}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{2\sqrt x  - 6}}{{1 - x}}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\)

1) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 25\).

2) Chứng minh \(B = \frac{4}{{\sqrt x  + 1}}\).

3) Đặt \(H = A:B\). So sánh \(H\) và \({H^2}\).

1) Khi \(x = 25\) (TMĐK), giá trị của biểu thức \(A\) là: \(A = \frac{4}{{\sqrt {25}  - 1}}\) \( = \frac{4}{{5 - 1}}\) \( = 1\).

Vậy \(A = 1\) khi \(x = 25\).

2) \(B = \frac{2}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{2\sqrt x  - 6}}{{1 - x}}\)\( = \frac{2}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{2\sqrt x  - 6}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\( = \frac{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{2\sqrt x  - 6}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{4\sqrt x  - 4}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\( = \frac{{4\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\( = \frac{4}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

Vậy \(B = \frac{4}{{\sqrt x  + 1}}\)

3) \(H = A:B\)\( = \frac{4}{{\sqrt x  - 1}}:\frac{4}{{\sqrt x  + 1}}\)\( = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\)

Xét hiệu \({H^2} - H = H\left( {H - 1} \right)\)

• Xét \(H - 1 = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} - 1\)\( = \frac{2}{{\sqrt x  - 1}}\)

• Xét \(H.\left( {H - 1} \right) = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} \cdot \frac{2}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}\)

Vì \(x \ge 0,x \ne 1\) nên \(\frac{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x\).

Suy ra \(H.\left( {H - 1} \right) > 0\) nên \({H^2} - H > 0\)do đó \({H^2} > H\)

Vậy \({H^2} > H\).