(4,0 điểm)

Một chiếc bàn hình tròn được ghép bởi hai nửa hình tròn có đường kính \(AB = 1,2\,\,{\rm{m}}\) (lấy \(\pi \approx 3,14\) và kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

a) Tính diện tích mặt bàn.

b) Người ta muốn nới rộng mặt bàn bằng cách ghép thêm vào giữa một mặt hình chữ nhật có một kích thước là \(AB\) (như hình vẽ). Hỏi kích thước còn lại của hình chữ nhật phải là bao nhiêu để diện tích mặt bàn tăng gấp ba lần sau khi nới?

2

a) Chứng minh tứ giác \[MAOC\] nội tiếp.

Xét \[\left( O \right)\] có: \[MA,{\rm{ }}MC\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] nên \[\widehat {MAO} = \widehat {MCO} = 90^\circ \]

Suy ra hai tam giác vuông \[MAO\] và \[MCO\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AO.\]

Do đó, bốn điểm \[M,\,\,C,\,\,A,\,\,O\] thuộc đường tròn đường kính \[AO.\]

Vậy tứ giác \[MAOC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AO.\]

b1) Chứng minh: \[M{C^2} = MH \cdot MO\]

 Chứng minh: \[OM \bot AC.\]

Xét \[\Delta MCO\] và \[\Delta MHC\] có:

\[\widehat {CMH}\] chung;

Do đó $\Delta MCO\backsim \Delta MHC$ (g.g).

Suy ra \[\frac{{MC}}{{MH}} = \frac{{MO}}{{MC}}\] (tỉ lệ tương ứng) nên \[M{C^2} = MH \cdot MO\].

b2) Chứng minh: \[\Delta MDH\] đồng dạng với \[\Delta MOB\].

Ta có \[M{C^2} = MH \cdot MO\]. Mà \[MC = MA\] nên \[M{A^2} = MH \cdot MO\]  (1)

Chứng minh \[\Delta ADB\] vuông tại \[D\].

Xét \[\Delta MAB\] vuông tại A có \[AD \bot MB\] nên \[M{A^2} = MD \cdot MB\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[MD \cdot MB = MH \cdot MO\].

Chứng minh được $\Delta MDH\backsim \Delta MOB$ (c.g.c)

c) Gọi \[K\] là trung điểm đoạn thẳng \[BD.\] Tiếp tuyến tại \[B\] của \[\left( O \right)\] cắt tia \[OK\] tại \[E.\] Chứng minh: Ba điểm \[A,\,\,C,\,\,E\] thẳng hàng.

Xét \[\Delta ODB\] cân tại \[O\] có \[OK\] là đường trung tuyến nên \[OK\] cũng là đường cao của \[\Delta ODB\] suy ra \[OK\] vuông góc với BD tại K.

Xét \[\Delta OBE\] vuông tại \[B\] có \[BK \bot OE\] nên \[O{B^2} = OK \cdot OE.\]

Mà \[O{A^2} = OH \cdot OM\] và \[OA = OB = R\].

Suy ra \[OK \cdot OE = OH \cdot OM\] nên \[\frac{{OH}}{{OK}} = \frac{{OE}}{{OM}}\].

Do đó $\Delta OHE\backsim \Delta OKM$ (c.g.c).

Suy ra \[\widehat {OHE} = \widehat {OKM}\] (hai cạnh tương ứng).

Mà \[\widehat {OKM} = 90^\circ \] nên \[\widehat {OHE} = 90^\circ \] suy ra \[HE\] vuông góc với \[OM\] tại \[H\].

Mà \[AC\] vuông góc với \[OM\] tại \[H\] nên ba điểm \[A,\,\,C,\,\,E\] thẳng hàng.