(0,5 điểm): Một cửa hàng phân phối bán ra 1000 sản phẩm mỗi năm. Mỗi lần đặt hàng có chi phí là 50 USD và chi phí lưu kho là 2 USD cho một sản phẩm mỗi năm. Hãy tìm số lượng hàng hóa cần đặt mỗi lần để tối thiểu hóa tổng chi phí đặt hàng và lưu kho.

(1,5 điểm) Cho biểu thức \(A = \frac{{2\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  + 2}}\) và \(B = \frac{1}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{\sqrt x  - 6}}{{x - 4}}\) với \(x \ge 0,x \ne 4.\)

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 1.\)

2) Chứng minh \(B = \frac{2}{{\sqrt x  + 2}}.\)                             

3) Tìm giá trị của \(x\) để biểu thức \(A + B\) đạt giá trị nguyên nhỏ nhất.

Cho phương trình bậc hai: \[{x^2} - 2x - 2 = 0\]. Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \[\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} + \frac{a}{{{x_1} + {x_2}}} = 6\].

Cho \[\left( O \right)\] là đường tròn tâm \[O\] đường kính \[AB = 2R.\] Qua \[A\] vẽ tiếp tuyến \[Ax\] của \[\left( O \right),\] trên tia \[Ax\] lấy điểm \[M\] (\[M\] khác \[A\]), từ \[M\] vẽ tiếp tuyến \[MC\] của \[\left( O \right)\] (\[C\] là tiếp điểm). Gọi \[H\] là giao điểm của \[OM\] và \[AC.\] Đường thẳng \[MB\] cắt \[\left( O \right)\] tại \[D\] (\[D\] nằm giữa \[M\] và \[B\,).\]

a) Chứng minh tứ giác \[MAOC\] nội tiếp.

b) Chứng minh: \[M{C^2} = MH \cdot MO\] và \[\Delta MDH\] đồng dạng với \[\Delta MOB\].

c) Gọi \[K\] là trung điểm đoạn thẳng \[BD.\] Tiếp tuyến tại \[B\] của \[\left( O \right)\] cắt tia \[OK\] tại \[E.\]

Chứng minh: Ba điểm \[A,\,\,C,\,\,E\] thẳng hàng.