(4,0 điểm)

Một cốc nước hình trụ có chiều cao \(15cm\), bán kính đáy là \(3cm\) và lượng nước ban đầu cao \(12cm\). Thả chìm hoàn toàn vào cốc \(3\) viên bi thủy tinh hình cầu có cùng bán kính là \(2cm\). ( Giả sử độ dày của thành cốc và đáy cốc không đáng kể- mô phỏng bằng hình vẽ).

a) Tính thể tích của nước trong cốc.

b) Khi thả ba viên bi hình cầu vào cốc thì nước trong cốc có bị tràn ra ngoài không ? Nếu có hãy tính thể tích nước bị tràn ra ngoài ?

a) Vì \(AD;BF;CE\) là đường cao của \(\Delta ABC\) (gt) nên \(\widehat {AFH} = \widehat {AEH} = \widehat {BEH} = \widehat {BDH} = 90^\circ \).

Xét \(\Delta AFH\) vuông tại \(F\)

\( \Rightarrow A;F;H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\)\(\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta AEH\) vuông tại \(E\)

\( \Rightarrow A;E;H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\)\(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) \( \Rightarrow A;F;H;E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\).

\( \Rightarrow AFHE\) nội tiếp một đường tròn( đpcm).

b) Ta có : \(\widehat {KIC} = \widehat {KAC}\)( hai góc nội tiếp cùng chắn )

hay \(\widehat {EIC} = \widehat {HAF}\)

có \(\widehat {NEC} = \widehat {HAF}\) ( hai góc nội tiếp cùng chắn )

\( \Rightarrow \widehat {KIC} = \widehat {NEC}\)

Xét \(\Delta CEN\) và \(\Delta CIE\) có :

\(\widehat {ECI}\)chung

\(\widehat {KIC} = \widehat {NEC}\)

\( \Rightarrow \Delta CEN \sim \Delta CIE\)(g-g)

\( \Rightarrow \frac{{CE}}{{CI}} = \frac{{CN}}{{CE}}\)( tính chất tam giác đồng dạng)

\( \Rightarrow C{E^2} = CI.CN\)(đpcm)

c) Xét \(\Delta AEC\) và \(\Delta EGC\) có :

\(\widehat {ACE}\)chung

\(\widehat {EGC} = \widehat {AEC} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta AEC \sim \Delta EGC\)(g-g)

\( \Rightarrow \frac{{CE}}{{CG}} = \frac{{AC}}{{CE}}\)( tính chất tam giác đồng dạng)

\( \Rightarrow C{E^2} = CA.CG\)

Mà \(C{E^2} = CI.CN\)(cmt)

\( \Rightarrow CA.CG = CI.CN\)

\( \Rightarrow \frac{{CG}}{{CI}} = \frac{{CN}}{{CA}}\)

Xét \(\Delta CNG\) và \(\Delta CAI\) có :

\(\widehat {ACI}\)chung

\(\frac{{CG}}{{CI}} = \frac{{CN}}{{CA}}\)(cmt)

\( \Rightarrow \Delta CNG \sim \Delta CAI\)(g-g)

\( \Rightarrow \widehat {CIA} = \widehat {CGN}\)( hai góc tương ứng)

Xét \(\Delta BEC\) vuông tại \(E\)

\( \Rightarrow B;E;C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\)

Xét \(\Delta BFC\) vuông tại \(F\)

\( \Rightarrow B;F;C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\)

\( \Rightarrow B;E;F;C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\)

\( \Rightarrow BEFC\) là tứ giác nội tiếp

\( \Rightarrow \widehat {EBC} + \widehat {EFC} = 180^\circ \)( tính chất tứ giác nột tiếp)

Mà \(\widehat {NFG} + \widehat {EFC} = 180^\circ \)( hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {NFG} = \widehat {EBC}\)

Ta có \(\widehat {EBC} = \widehat {AIC}\)( hai góc nội tiếp cùng chắn )

Mà \(\widehat {CIA} = \widehat {CGN}\)

\( \Rightarrow \widehat {NFG} = \widehat {NGC}\)

\( \Rightarrow \Delta GNF\) cân tại \(N\)

\( \Rightarrow NG = NF\)( tính chất tam giác cân)

Ta chứng minh được \(\widehat {EGN} = \widehat {NEG}\)( dựa vào các góc phụ nhau)

\( \Rightarrow \Delta GNE\) cân tại \(N\)

\( \Rightarrow NG = NE\)( tính chất tam giác cân)

Do đó \(NF = NE\)

\( \Rightarrow N\) là trung điểm của \(EF\).

Xét \(\Delta BEC\) vuông tại \(E\) và \(\Delta BFC\) vuông tại \(F\) có \(M\) là trung điểm của \(BC\)

\( \Rightarrow FM = EM = \frac{1}{2}BC\)

\( \Rightarrow \Delta MEF\) cân tại M mà \(N\) là trung điểm của \(EF\)

\( \Rightarrow MN \bot EF\)( tính chất tam giác cân)