(4 điểm) 

Tính lượng vải cần mua để tạo ra chiếc nón của chú hề với các số liệu trong hình bên. Biết rằng tỉ lệ vải khâu (may) hao (tốn) khi máy nón là \(15\% \). Cho biết \(\pi \approx 3,14\)

Có \(D \in \) đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\;\)(giả thiết) nên \(\widehat {ADB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra \(\widehat {EDB} = 90^\circ \)

  \( \Rightarrow \Delta EDB\) vuông tại \(D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(EB\) (1)

Có \(d \bot AB\) tại \(C\), \(E \in d\) (giả thiết) nên \(\widehat {ECB} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta CEB\) vuông tại \(C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(EB\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow E,C,B,D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(EB\)

b) Có \(N \in \) đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\;\)(giả thiết) nên \(\widehat {ANB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra\(\;AN\) vuông góc với \(EB\) tại \(N\)

 Tam giác \(AEB\) có:

\(EC\) là đường cao (vì \(EC\) vuông góc với \(AB\) tại \(C\))

  \(AN\) là đường cao (vì \(AN\) vuông góc với \(EB\) tại \(N\))

 \(BD\) là đường cao (vì \(BD\) vuông góc với \(AE\) tại \(D\))

Suy ra \(AN,EC,\;BD\) đồng quy tại một điểm (tính chất)

Mà \(AN\) cắt \(EC\) tại \(F\) (giả thiết)

Suy ra \(BD\) đi qua \(F\) hay ba điểm \(B,\;F,\;D\) thẳng hàng.

Xét tam giác \(AFC\) và tam giác \(ABN\) có:

\(\widehat {ACF\;} = \widehat {ANB\;} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

\(\widehat {NAB}\) chung

Suy ra $\Delta AFC\backsim \Delta ABN$  (góc – góc)

Suy ra \(\frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AN}}\) (các cặp cạnh tương ứng)

Suy ra \(AF.AN = AB.AC\) (3)

Xét tam giác \(BCF\) và tam giác \(BDA\) có:

\(\widehat {BCF\;} = \widehat {BDA\;} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

\(\widehat {DBA}\) chung

Suy ra $\Delta BCF\backsim \Delta BDA$  (góc – góc)

Suy ra \(\frac{{BC}}{{BD}} = \frac{{BF}}{{BA}}\) (các cặp cạnh tương ứng)

Suy ra \(BC.BA = BD.BF\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(AF.AN + BD.BF = AB.AC + BC.BA = AB\left( {AC + BC} \right) = AB.AB = A{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}\)

             c)

Gọi \(G\) là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AEF\) và \(AB\)

Suy ra tứ giác \(AEFG\) nội tiếp đường tròn \(\left( I \right)\)

Suy ra \(\widehat {AEF} + \widehat {AGF} = 180^\circ \) (tính chất)

Mà  \(\widehat {AGF} + \widehat {FGB} = 180^\circ \) (kề bù)

Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {FGB}\)

Có \(E,C,B,D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(EB\)

Nên tứ giác \(BCDE\) nội tiếp đường tròn đường kính \(EB\)

Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {FBG}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(DC\))

Mà \(\widehat {AEF} = \widehat {FGB}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat {FGB} = \widehat {FBG}\)

Suy ra tam giác \(FGB\) cân tại \(F\)

Mà \(FC\) là đường cao

Suy ra \(FC\) cũng là đường trung tuyến

Suy ra \(C\) là trung điểm \(GB\)

Mà \(A,B,C\) cố định nên \(G\) cố định

Tứ giác \(AEFG\) nội tiếp đường tròn \(\left( I \right)\) suy ra \(I\) thuộc trung trực của \(AG\)

Mà \(A,G\) cố định

Vậy điểm \(I\) luôn nằm trên đường trung trực của \(AG\) cố định khi \(N\) thay đổi trên cung nhỏ \(MB\)(\(N\) khác \(M\) và \(B\)).