Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có đường cao AD và đường phân giác trong AO (D, O thuộc cạnh BC). Kẻ OM vuông góc với AB tại M, ON vuông góc với AC tại N.
(a) Chứng minh \(OM = ON\) và \[\widehat {BDM} = \widehat {ODN}\].
(b) Qua O, kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt MN tại I, AI cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có \[\widehat {AMO} = \widehat {ANO} = {90^0}\] (giả thiết); \[\widehat {ADO} = {90^0}\] (giả thiết).
Tam giác AMO vuông tại M nên tam giác AMO nội tiếp đường tròn đường kính AO có tâm là trung điểm của cạnh huyền AO.
Tương tự, hai tam giác ADO và ANO
ngoại tiếp đường tròn đường kính AO.
Suy ra bốn điểm D, M, N, O cùng
nằm trên đường tròn đường kính AO.
b) Chứng minh được hai tam giác OAM và OAN bằng nhau suy ra OM = ON.
Do tứ giác MDON nội tiếp nên \[\widehat {ODN} = \widehat {OMN}\] và \[\widehat {BDM} = \widehat {ONM}\].
Mà \[\widehat {ONM} = \widehat {OMN}\](do tam giác OMN cân tại O). Suy ra \[\widehat {ODN} = \widehat {BDM}\] (đpcm).
c) Qua I, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại P, Q.
Ta có: \[\widehat {IOP} = \widehat {IMP} = \widehat {INA}\], \[\widehat {INA} = \widehat {IOQ}\] (vì tứ giác OINQ nội tiếp).
Suy ra \[\widehat {IOP} = \widehat {IOQ}\]. Mà OI vuông góc PQ nên OI là trung tuyến của tam giác OPQ.
Ta có PQ//BC nên \[\frac{{IP}}{{KB}} = \frac{{AI}}{{AK}} = \frac{{IQ}}{{KC}}\]. Mà IP = IQ, suy ra KB = KC.
Vậy K là trung điểm của BC.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi \[x\] là số câu trả lời đúng \[\left( {x \in {\mathbb{N}^*};\,\,x \le 10} \right)\]
Số câu trả lời sai là \[10 - x\]
Số điểm cộng là \[10x\] , số điểm trừ là \[5\left( {10 - x} \right)\]
Vì mỗi thí sinh phải trả lời được ít nhất \[60\] điểm mới được vào vòng thi tiếp theo nên ta có BPT \[10 + 10x - 5\left( {10 - x} \right) \ge 60\]
Giải được \[x \ge 6,7\]
Vậy thí sinh cần trả lời đúng ít nhất là \[7\] câu
Lời giải
Lập hệ thức Viète: x1 + x2 = 6; x1.x2 = 2025
\[\begin{array}{l}A = \left| {{x_1} + {x_2}} \right|\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 6\sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} \\ = 6\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{{\rm{x}}_1}{x_2}} \\ = 6\sqrt {{6^2} - 4\left( { - 2025} \right)} = 36\sqrt {226} \end{array}\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập