Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có đường cao AD và đường phân giác trong AO (D, O thuộc cạnh BC). Kẻ OM vuông góc với AB tại M, ON vuông góc với AC tại N.

(a) Chứng minh \(OM = ON\) và \[\widehat {BDM} = \widehat {ODN}\].

(b) Qua O, kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt MN tại I, AI cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC.

Giải bài toán bằng cách lập bất phương trình:

Trong cuộc thi “Học vui, vui học”, mỗi thí sinh phải trả lời \[10\] câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng được \[10\] điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ \[5\]điểm. Ban tổ chức tặng cho mỗi thí sinh \[10\] điểm và theo quy định mỗi thí sinh phải trả lời được ít nhất \[60\] điểm mới được vào vòng thi tiếp theo. Hỏi để được vào vòng thi tiếp theo thì thí sinh cần trả lời đúng ít nhất bao nhiêu câu hỏi?

Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình: \[{x^2}-6x-2025 = 0.\] Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức \[A = \left| {x_1^2--x_2^2} \right|\]

Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình hoặc phương trình:

Nhân dịp kỉ niệm 50 năm Ngày Giải phóng thành phố Đà Nẵng (29/03/1975 – 29/03/2025), một trường THCS trên địa bàn thành phố tổ chức cho học sinh tham quan trải nghiệm tại Thánh địa Mỹ Sơn (Duy Phú - Duy Xuyên - Quảng Nam) bằng xe ô tô. Nhưng do Nam say xe nên bố chở Nam từ trường đến địa điểm tham quan bằng xe máy. Để có thể đến địa điểm tham quan cùng lúc với các bạn, bố Nam phải xuất phát trước 25 phút. Tính vận tốc mỗi xe, biết vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 20 km/h và quãng đường từ trường đến địa điểm tham quan là 50 km.

Rút gọn biểu thức \(B = \frac{{2x + 2\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\;\;(x > 0,x \ne 1)\)

Một cây bút chì hình trụ có chiều dài \(150\,mm\) và đường kính \(7,2\,mm\). Phần vỏ của bút chì được làm bằng gỗ, phần lõi bút (thường được tạo thành từ hỗn hợp graphite với đất sét (clay) và nước) có dạng hình trụ có chiều dài bằng với chiều dài của bút chì và đường kính bằng \(3,4\,mm\).

1. Hãy tính thể tích hỗn hợp cần dùng để làm lõi một cây bút chì?

2. Hãy tính thể tích gỗ cần dùng để làm vỏ một cây bút chì?

Biết công thức tính thể tích hình trụ \(V = \pi .\,{R^2}.\,h\) (\(R\) là bán kính đáy, \(h\) là chiều cao). (Các kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Có \[25\] viên bi đỏ, \[35\] viên bi trắng đồng chất có cùng kích thước và khối lượng được đựng trong một cái hộp. Người ta lấy ra một viên bi từ trong hộp đó.

(a) Tính xác suất để \[1\] viên bi được lấy ra là viên bi đỏ.

(b) Người ta bỏ thêm vào hộp một số viên bi xanh đồng chất có cùng kích thước và khối lượng với các viên bi trong hộp. Nếu lấy ra \[1\] viên bi từ trong cái hộp này thì cơ hội lấy ra viên bi xanh là \[\frac{7}{{13}}\]. Hỏi có bao nhiêu viên bi xanh được bỏ thêm vào hộp?