Cho hai đường tròn đồng tâm \[(I;8cm)\] và \[(I;6cm)\]. Tính diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn đó.

Rút gọn biểu thức \(B = \frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{x - 4}}\,\,\)với \(x \ge 0,\,x \ne 4\)

Tìm điều kiện xác định của \[\frac{5}{{\sqrt {x - 2026} + 1}}\]

Cho đường tròn tâm đường kính \(AB = 2{\rm{R}}\), trên đoạn \(OA\) lấy điểm\(I(I \ne A;I \ne O)\). Vẽ tia \(Ix \bot AB\)cắt \(\left( O \right)\) tại \(C\). Lấy điểm \(E\) trên cung nhỏ \(BC\)\(\left( {E \ne B;E \ne C} \right)\), \(AE\) cắt \(CI\) tại \(F\), gọi \(D\) là giao điểm của \(BC\) với tiếp tuyến tại \(A\) của \(\left( {O;R} \right)\).

(a) Chứng minh rằng tứ giác \(BEFI\)là tứ giác nội tiếp.

(b) Chứng minh rằng: \(AE.AF = CB.CD\).

(c) Biết rằng\(AB = 2AC\)và điểm \(E\) di chuyển trên cung nhỏ. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[S = 2026.EB.EC\]

Một chiếc cổng có hình dạng parabol \(y = - \frac{1}{4}{x^2}\) (P) với khoảng cách giữa hai chân cổng AB =12m (như hình vẽ). Hãy vẽ ( P) và tính chiều cao h của cổng.

Cho phương trình \({x^2} - 7x + 5 = 0\)có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\). Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức \(C = \left| {{x_2} - 3} \right| + \sqrt {{x_1} + 4} \)

Cô giáo thống kê thời gian làm một bài toán (tính bằng phút) của 40 học sinh lớp và lập được bảng như sau:

Tính tần số tương đối của học sinh làm bài toán đó từ 9 phút trở lên.

Một tàu điện dừng lại ở một sân ga, có ba toa tàu mang số 1, 2, 3 mở cửa để đón khách. Hai bạn Hương và Giang mỗi người chọn ngẫu nhiên một toa để đi lên (không tính thứ tự lên trước, sau).

(a) Mô tả không gian mẫu của phép thử

(b) Tính xác suất của biến cố E: “Hương và Giang cùng lên một toa tàu”.