Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A;M\) là trung điểm của \(BC,H\) là hình chiếu của \(M\) trên \(AC;E\) là trung điểm của \(MH\). Tính \(\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {BH} \).

Ta có biến đổi tích vô hướng như sau:

\(2\overrightarrow {AE}  \cdot \overrightarrow {BH}  = (\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AH} ) \cdot (\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {MH} )\)

\( = \overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {MH}  + \overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {BM} \)       (do \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {BM}  = 0,\,\,\overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {MH}  = 0\))

\( = \overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {MH}  + (\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MH} ) \cdot \overrightarrow {BM} \)

\( = \overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {MH}  + \overrightarrow {MH}  \cdot \overrightarrow {MC} \)       (do \(\overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {MC} \))

\( = \overrightarrow {MH}  \cdot \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MC} } \right) = \overrightarrow {MH}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 0\).

Do đó, \(\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {BH}  = 0\).