Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], mắt một người quan sát đặt tại điểm \[M\left( {0;0;2} \right)\] và quan sát một thanh \(AB\) với \[A\left( {4;0; - 2} \right)\],\[B\left( {1;5; - 2} \right)\]. Một tấm bìa cứng có dạng hình tròn thuộc mặt phẳng \(Oxy\) có tâm \(O(0;0;0)\), bán kính \(R\) và che khuất hoàn toàn thanh \(AB\) đối với người quan sát tại điểm \(M\). 

Đáp án: \[26,2\].                                                         

Xếp \[8\] quyển sách giống nhau vào một giá sách gồm \[10\] ngăn chính là bài toán chia kẹo Euler , chia \[8\] chiếc kẹo cho \[10\] người nên có \[n\left( \Omega  \right) = C_{8 + 10 - 1}^{10 - 1} = 24310\].

Coi ngăn không chứa sách, chứa \[1\] quyển sách và ngăn chứa \[2\] quyển sách tương ứng với các số \[0,\;1,\;2\].

Từ đề bài ta có hai trường hợp

Trường hợp 1: Có \[6\] ngăn chứa đúng \[1\] quyển sách, \[1\] ngăn chứa \[2\] quyển sách và \[3\] ngăn không chứa quyển sách.

Xếp \[3\] số \[0\] trước sẽ tạo ra \[4\] khoảng trống , xếp số \[2\] và \[1\] trong \[4\] khoảng trống đó có \[C_4^1\] cách . Khi đó còn \[3\] khoảng trống , chia \[6\] số \[1\] cho \[3\] khoảng trống đó có \[C_{6 + 3 - 1}^{3 - 1}\]. Suy ra trường hợp này có \[C_{6 + 3 - 1}^{3 - 1}.C_4^1 = 112\] cách.

Trường hợp 2: Có \[4\] ngăn chứa đúng \[1\] quyển sách, \[2\] ngăn chứa \[2\] quyển sách và \[4\] ngăn không chứa quyển sách.

Xếp \[4\] số \[0\] trước sẽ tạo ra \[5\] khoảng trống , xếp \[2\] số \[2\] vào \[2\] trong \[5\] khoảng trống đó có \[C_5^2\] cách . Khi đó còn \[3\] khoảng trống , chia \[4\] số \[1\] cho \[3\] khoảng trống đó có \[C_{4 + 3 - 1}^{3 - 1} = C_6^2\]. Suy ra trường hợp này có \[C_6^2.C_5^2 = 150\] cách.

\[P = \frac{{112 + 150}}{{24310}} = \frac{{131}}{{12155}},\;2431P = 26,2.\]

Đáp án: 1050.

+ Ta có hàm số liên tục theo \(t \in \left[ {0;\, + \infty } \right)\): \(f'\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}2100 - 400t,\,0 \le t \le 3\\a{\left( {t - 3} \right)^2} + b,\,t > 3\end{array} \right.\) nên

\(f'\left( {{3^ - }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f'\left( t \right) \Leftrightarrow 2100 - 400.3 = a{\left( {3 - 3} \right)^2} + b \Leftrightarrow b = 900\).

+ Sau 3 giờ 30 phút số lượng khán giả ở lại sân khấu là \(875\) nên

\(f'\left( {3,5} \right) = 875 \Leftrightarrow a{\left( {3,5 - 3} \right)^2} + 900 = 875 \Leftrightarrow a =  - 100\).

Khi đó ta được \(f'\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}2100 - 400t,\,0 \le t \le 3\\ - 100{\left( {t - 3} \right)^2} + 900,\,t > 3\end{array} \right.\)

+ Khi khán giả ra về hết thì \(f'\left( t \right) = 0 \Rightarrow  - 100{\left( {t - 3} \right)^2} + 900 = 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 3} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6\,(tm)\\t = 0\,(l)\end{array} \right.\).

+ Khán giả trung bình mỗi giờ

\(\overline f  = \frac{1}{6}\left[ {\int\limits_0^3 {\left( {2100 - 400t} \right)dx}  + \int\limits_3^6 {\left( { - 100{{\left( {t - 3} \right)}^2} + 900} \right)dx} } \right] = 1050\).