Một giàn khung thép đỡ bồn nước sinh hoạt có dạng là hình lăng trụ tam giác đều\(ABC.A'B'C'\). Để giàn đỡ có kết cấu chắc chắn người ta hàn thêm một số thanh sắt, trong đó có hai thanh \(AB' \bot BC'\). Cho biết cạnh đáy của giàn đỡ \(AB = 2\sqrt 2 \) . Tính thể tích \(V({m^3})\)của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) .

Đáp số: 106.

Sau 3 năm, số tiền cả gốc lẫn lãi ông An nhận được từ ngân hàng là:

\(T = 100{(1 + 0,06)^3}\)

Theo giả thiết về lạm phát, giá trị của \(A\) đồng ở hiện tại tương đương với \(A{(1 + 0,04)^3}\) đồng sau 3 năm.

Do đó, để quy đổi số tiền \(T\) nhận được sau 3 năm về mức giá tại thời điểm hiện tại, ta thực hiện phép chia:

\(A = \frac{T}{{{{(1 + 0,04)}^3}}} = 100{\left( {\frac{{1,06}}{{1,04}}} \right)^3} \approx 105,88\).

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, số tiền tương đương ông An nhận được là 106 triệu đồng.

Đáp án: 36

Tại thời điểm ban đầu \(t = 0\), quần thể có 24 tế bào, tức là \(P(0) = 24\).

Thay \(t = 0\) vào hàm số \(P(t)\), ta có: \(P(0) = \frac{{2a}}{{b + 3{e^0}}} = \frac{{2a}}{{b + 3}}\)

\( \Rightarrow \frac{{2a}}{{b + 3}} = 24 \Rightarrow 2a = 24(b + 3) \Rightarrow a = 12(b + 3)\quad (1)\)

Tốc độ sinh trưởng là đạo hàm của số lượng tế bào theo thời gian:

\(P'(t) = \frac{{ - 2a.3.( - 0,75).{e^{ - 0,75t}}}}{{{{(b + 3{e^{ - 0,75t}})}^2}}}\)\( \Rightarrow P'(t) = \frac{{4,5a.{e^{ - 0,75t}}}}{{{{(b + 3{e^{ - 0,75t}})}^2}}}\)

Tại thời điểm \(t = 0\), tốc độ sinh trưởng là \(6\) tế bào/giờ, tức là \(P'(0) = 6\).

Thay \(t = 0\) vào \(P'(t)\): \(P'(0) = \frac{{4,5a.{e^0}}}{{{{(b + 3{e^0})}^2}}} = \frac{{4,5a}}{{{{(b + 3)}^2}}}\)\( \Rightarrow \frac{{4,5a}}{{{{(b + 3)}^2}}} = 6\quad (2)\)

Thay \((1)\) vào \((2)\), ta được:

\(\frac{{4,5.12(b + 3)}}{{{{(b + 3)}^2}}} = 6\)\( \Leftrightarrow \frac{{54(b + 3)}}{{{{(b + 3)}^2}}} = 6\)\( \Leftrightarrow \frac{{54}}{{b + 3}} = 6 \Rightarrow b + 3 = 9 \Rightarrow b = 6 \Rightarrow a = 12(6 + 3) = 108\)

Vậy hàm số là: \(P(t) = \frac{{216}}{{6 + 3{e^{ - 0,75t}}}}\)

Sau một thời gian về lâu dài nghĩa là ta đi tìm giới hạn của hàm số khi \(t \to  + \infty \).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } P(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{216}}{{6 + 3{e^{ - 0,75t}}}} = \frac{{216}}{6} = 36\) do \(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } {e^{ - 0,75t}} = 0\)

Sau một thời gian về lâu dài, số lượng tế bào của quần thể nấm men sẽ tiến về giá trị 36 tế bào.