Tỉ lệ lạm phát là tỉ lệ phần trăm biểu thị mức tăng chung của giá hàng hóa và dịch vụ trong một khoảng thời gian. Nếu tỉ lệ lạm phát của năm sau so với năm trước là \(i\), thì \(A\) đồng ở năm trước tương đương với \(P = A\left( {1 + i} \right)\) đồng ở năm sau. Ông An gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 6%/năm, theo hình thức lãi kép, tính lãi mỗi năm một lần . Sau 3 năm, ông An nhận cả vốn và lãi. Giả sử trong 3 năm đó, tỉ lệ lạm phát ổn định 4%/năm. Nếu quy đổi theo mức giá tại thời điểm gửi tiền, thì số tiền ông An nhận được sau 3 năm tương đương bao nhiêu triệu đồng?

Đáp án: 36

Tại thời điểm ban đầu \(t = 0\), quần thể có 24 tế bào, tức là \(P(0) = 24\).

Thay \(t = 0\) vào hàm số \(P(t)\), ta có: \(P(0) = \frac{{2a}}{{b + 3{e^0}}} = \frac{{2a}}{{b + 3}}\)

\( \Rightarrow \frac{{2a}}{{b + 3}} = 24 \Rightarrow 2a = 24(b + 3) \Rightarrow a = 12(b + 3)\quad (1)\)

Tốc độ sinh trưởng là đạo hàm của số lượng tế bào theo thời gian:

\(P'(t) = \frac{{ - 2a.3.( - 0,75).{e^{ - 0,75t}}}}{{{{(b + 3{e^{ - 0,75t}})}^2}}}\)\( \Rightarrow P'(t) = \frac{{4,5a.{e^{ - 0,75t}}}}{{{{(b + 3{e^{ - 0,75t}})}^2}}}\)

Tại thời điểm \(t = 0\), tốc độ sinh trưởng là \(6\) tế bào/giờ, tức là \(P'(0) = 6\).

Thay \(t = 0\) vào \(P'(t)\): \(P'(0) = \frac{{4,5a.{e^0}}}{{{{(b + 3{e^0})}^2}}} = \frac{{4,5a}}{{{{(b + 3)}^2}}}\)\( \Rightarrow \frac{{4,5a}}{{{{(b + 3)}^2}}} = 6\quad (2)\)

Thay \((1)\) vào \((2)\), ta được:

\(\frac{{4,5.12(b + 3)}}{{{{(b + 3)}^2}}} = 6\)\( \Leftrightarrow \frac{{54(b + 3)}}{{{{(b + 3)}^2}}} = 6\)\( \Leftrightarrow \frac{{54}}{{b + 3}} = 6 \Rightarrow b + 3 = 9 \Rightarrow b = 6 \Rightarrow a = 12(6 + 3) = 108\)

Vậy hàm số là: \(P(t) = \frac{{216}}{{6 + 3{e^{ - 0,75t}}}}\)

Sau một thời gian về lâu dài nghĩa là ta đi tìm giới hạn của hàm số khi \(t \to  + \infty \).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } P(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{216}}{{6 + 3{e^{ - 0,75t}}}} = \frac{{216}}{6} = 36\) do \(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } {e^{ - 0,75t}} = 0\)

Sau một thời gian về lâu dài, số lượng tế bào của quần thể nấm men sẽ tiến về giá trị 36 tế bào.

Đáp án: \(6,93\).

Gọi \(h = AA' = BB' = CC'\).

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có:\(A\left( { - \sqrt 2 ;0;h} \right);{\rm{ B}}\left( {\sqrt 2 ;0;h} \right);{\rm{ }}B'\left( {\sqrt 2 ;0;0} \right);{\rm{ }}C'\left( {0;\sqrt 6 ;0} \right).\)

\[\overrightarrow {AB'}  = \left( {2\sqrt 2 ;0; - h} \right);{\rm{ }}\overrightarrow {BC'}  = \left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 6 ; - h} \right)\].

Vì \(AB' \bot BC'\) suy ra  \[\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'}  = 0 \Leftrightarrow  - 4 + {h^2} = 0 \Leftrightarrow h = 2\].

Vậy $V=h.S_{△ABC}=2.{\left(2\sqrt{2}\right)}^2\frac{\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}\simeq \mathrm{6,93}\left(m^3\right)$.